Operaciones con matrices, ecuaciones matriciales y sistemas

**a.- (3 puntos) Calcula $(B - A)^{-1}$.** Primero debemos calcular la matriz resultante de la resta $M = B - A$. Para restar matrices, restamos los elementos que ocupan la misma posición: $$M = B - A = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 - 0 & 3 - 1 \\ 3 - (-1) & 1 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con los signos al restar, especialmente con el $-(-1)$ que se convierte en $+1$.

Para que una matriz tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero. Calculamos el determinante de $M = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}$: $$|M| = (0 \cdot (-1)) - (2 \cdot 4) = 0 - 8 = -8$$ Como $|M| \neq 0$, existe $M^{-1}$. La fórmula de la inversa es $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{Adj}(M)^T$. 1. Hallamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(M)$: - $Adj_{11} = -1$ - $Adj_{12} = -4$ - $Adj_{21} = -2$ - $Adj_{22} = 0$ $$\text{Adj}(M) = \begin{pmatrix} -1 & -4 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$$ 2. Trasponemos la matriz de adjuntos: $$\text{Adj}(M)^T = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -4 & 0 \end{pmatrix}$$ 3. Dividimos por el determinante: $$(B-A)^{-1} = \frac{1}{-8} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -4 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/8 & 1/4 \\ 1/2 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{(B-A)^{-1} = \begin{pmatrix} 1/8 & 1/4 \\ 1/2 & 0 \end{pmatrix}}$$

**b.- (3 puntos) Calcula la matriz $X$ que verifica: $2X - AB = BA$.** Primero aislamos el término que contiene a $X$. En las ecuaciones matriciales, tratamos las matrices como bloques, pero recordando que el producto no siempre es conmutativo (aunque aquí solo hay sumas): $$2X = BA + AB$$ $$X = \frac{1}{2}(BA + AB)$$ 💡 **Tip:** En general $AB \neq BA$, por lo que no podemos simplificar $BA + AB$ como $2AB$. Debemos calcular ambos productos por separado.

Calculamos $AB$: $$AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot0 + 1\cdot3 & 0\cdot3 + 1\cdot1 \\ -1\cdot0 + 2\cdot3 & -1\cdot3 + 2\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}$$ Calculamos $BA$: $$BA = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot0 + 3\cdot(-1) & 0\cdot1 + 3\cdot2 \\ 3\cdot0 + 1\cdot(-1) & 3\cdot1 + 1\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 6 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$$

Sumamos ambos resultados: $$BA + AB = \begin{pmatrix} -3 & 6 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 6 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 7 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$$ Finalmente, multiplicamos por $\frac{1}{2}$ para hallar $X$: $$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 7 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 7/2 \\ 5/2 & 2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 & 3.5 \\ 2.5 & 2 \end{pmatrix}}$$

**c.- (4 puntos) Resuelve el sistema de ecuaciones: $C \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.** Se trata de un sistema homogéneo (los términos independientes son 0). Estos sistemas siempre tienen, al menos, la solución trivial $(0, 0, 0)$. Para saber si hay más, calculamos el determinante de $C$: $$|C| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$|C| = [(1\cdot1\cdot(-2)) + (1\cdot1\cdot(-1)) + (0\cdot2\cdot1)] - [(0\cdot1\cdot(-1)) + (1\cdot2\cdot(-2)) + (1\cdot1\cdot1)]$$ $$|C| = [-2 - 1 + 0] - [0 - 4 + 1] = -3 - (-3) = 0$$ Como el determinante es $0$, el rango de $C$ es menor que $3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1 \neq 0$$ Por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, como $rg(C) = 2 < n = 3$ (número de incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones). 💡 **Tip:** Un sistema homogéneo solo tiene la solución trivial si el determinante de la matriz es distinto de cero.

Como el rango es 2, sobran ecuaciones. Utilizamos las dos primeras ecuaciones y pasamos una variable al otro lado como parámetro. Sea $x = -\lambda$ (para facilitar los cálculos): $$\begin{cases} x + y = 0 \\ 2x + y + z = 0 \end{cases}$$ De la primera ecuación: $y = -x$. Si $x = -\lambda$, entonces $y = \lambda$. Sustituimos en la segunda: $$2(-\lambda) + \lambda + z = 0$$ $$-2\lambda + \lambda + z = 0$$ $$-\lambda + z = 0 \implies z = \lambda$$ Las soluciones son de la forma $(-\lambda, \lambda, \lambda)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} x = -\lambda \\ y = \lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$