Optimización de ingresos mediante programación lineal

**a.- (8 puntos) Plantea y resuelve un problema de programación lineal que permita calcular el número de lotes de cada oferta que maximiza el ingreso obtenido con la venta. ¿A cuánto asciende dicho ingreso máximo?** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de lotes de la **Oferta A**. - $y$: número de lotes de la **Oferta B**. El objetivo es maximizar el ingreso total. Según el enunciado, el precio de la oferta A es de $360$ € y el de la B es de $120$ €. Por tanto, la función objetivo es: $$f(x, y) = 360x + 120y$$ 💡 **Tip:** Las variables deben representar aquello que queremos decidir para optimizar el resultado; en este caso, la cantidad de cada tipo de lote.

A continuación, traducimos las limitaciones de stock del mayorista a inecuaciones matemáticas: 1. **Botas:** Se dispone de $800$ pares. Cada lote A usa $1$ y cada lote B usa $2$: $$x + 2y \le 800$$ 2. **Mocasines:** Se dispone de $1.200$ pares. Cada lote A usa $3$ y cada lote B usa $2$: $$3x + 2y \le 1.200$$ 3. **Zapatillas:** Se dispone de $2.100$ pares. Cada lote A usa $7$ (la oferta B no incluye zapatillas): $$7x \le 2.100 \implies x \le 300$$ 4. **No negatividad:** Como no se pueden vender lotes negativos: $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ El sistema de restricciones define la **región factible**.

Para encontrar el máximo, debemos evaluar los vértices de la región factible, que son los puntos de intersección de las rectas limitantes: - **Punto A:** Intersección de $x=0$ y $y=0 \implies \mathbf{(0, 0)}$. - **Punto B:** Intersección de $y=0$ y $x=300 \implies \mathbf{(300, 0)}$. - **Punto C:** Intersección de $x=300$ y $3x + 2y = 1.200$: $3(300) + 2y = 1.200 \implies 900 + 2y = 1.200 \implies 2y = 300 \implies y = 150$. Vértice: $\mathbf{(300, 150)}$. - **Punto D:** Intersección de $3x + 2y = 1.200$ y $x + 2y = 800$: Restamos las ecuaciones: $(3x+2y) - (x+2y) = 1.200 - 800 \implies 2x = 400 \implies x = 200$. Sustituimos $x$ en la segunda: $200 + 2y = 800 \implies 2y = 600 \implies y = 300$. Vértice: $\mathbf{(200, 300)}$. - **Punto E:** Intersección de $x+2y=800$ y $x=0$: $2y = 800 \implies y = 400$. Vértice: $\mathbf{(0, 400)}$. 💡 **Tip:** Para resolver sistemas rápidamente, el método de reducción (restar ecuaciones) suele ser el más eficiente en programación lineal de dos variables.

Representamos la región factible y evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 360x + 120y$ en cada vértice: - $f(0, 0) = 360(0) + 120(0) = 0$ € - $f(300, 0) = 360(300) + 120(0) = 108.000$ € - $f(300, 150) = 360(300) + 120(150) = 108.000 + 18.000 = 126.000$ € - $f(200, 300) = 360(200) + 120(300) = 72.000 + 36.000 = 108.000$ € - $f(0, 400) = 360(0) + 120(400) = 48.000$ € El valor máximo se alcanza en el punto $(300, 150)$. ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{\text{Se maximiza el ingreso con } 300 \text{ lotes de la oferta A y } 150 \text{ de la B. El ingreso es de } 126.000 \text{ euros.}}$$

**b.- (2 puntos) Razona cuántos pares de botas, mocasines y zapatillas quedarán sin vender en la solución óptima.** Utilizamos la solución óptima encontrada: $x=300$ lotes A y $y=150$ lotes B. Calculamos la cantidad de cada calzado utilizada: - **Botas:** Se usan $1x + 2y = 1(300) + 2(150) = 300 + 300 = 600$ botas. Quedan: $800 - 600 = \mathbf{200}$ **botas**. - **Mocasines:** Se usan $3x + 2y = 3(300) + 2(150) = 900 + 300 = 1.200$ mocasines. Quedan: $1.200 - 1.200 = \mathbf{0}$ **mocasines**. - **Zapatillas:** Se usan $7x + 0y = 7(300) = 2.100$ zapatillas. Quedan: $2.100 - 2.100 = \mathbf{0}$ **zapatillas**. 💡 **Tip:** Un producto queda con stock cero si la solución óptima se encuentra sobre la recta de restricción asociada a ese producto. En nuestro caso, el punto $(300, 150)$ está en las rectas de mocasines ($3x+2y=1200$) y zapatillas ($x=300$). ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\text{Quedan sin vender 200 botas, 0 mocasines y 0 zapatillas.}}$$