Estudio de beneficios de una empresa

**a.- (2 puntos) ¿En qué intervalo la empresa tendrá pérdidas?** La empresa tendrá pérdidas cuando el beneficio sea negativo, es decir, cuando $B(t) \lt 0$. Planteamos la inecuación: $$\frac{2t - 6}{t + 4} \lt 0$$ Como $t$ representa el tiempo transcurrido desde la apertura, sabemos que $t \ge 0$. Esto implica que el denominador $t + 4$ siempre será positivo ($t + 4 \ge 4$). Para que la fracción sea negativa, el numerador debe ser negativo: $$2t - 6 \lt 0 \implies 2t \lt 6 \implies t \lt 3$$ Considerando que el tiempo empieza en $t=0$, el intervalo de pérdidas es el tiempo comprendido entre el año 0 y el año 3. 💡 **Tip:** En problemas de contexto real, siempre debemos tener en cuenta el dominio restringido de las variables (en este caso, el tiempo $t$ no puede ser negativo). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La empresa tendrá pérdidas en el intervalo } [0, 3) \text{ años}}$$

**b.- (4 puntos) En qué momento $t \in [3,10]$ se alcanza el máximo beneficio y a cuántos euros asciende su valor. Justifica la respuesta.** Para encontrar el máximo en un intervalo cerrado, estudiaremos primero la derivada de la función para conocer su crecimiento. Derivamos $B(t)$ usando la regla del cociente: $$B'(t) = \frac{(2)(t + 4) - (2t - 6)(1)}{(t + 4)^2}$$ $$B'(t) = \frac{2t + 8 - 2t + 6}{(t + 4)^2} = \frac{14}{(t + 4)^2}$$ Analizamos el signo de $B'(t)$: - El numerador es $14$, que es siempre positivo. - El denominador es $(t + 4)^2$, que es siempre positivo para cualquier $t$ del dominio. Por tanto, $B'(t) \gt 0$ para todo $t \ge 0$, lo que significa que la función $B(t)$ es **estrictamente creciente** en todo su dominio. $$\begin{array}{c|c} t & [0, +\infty) \\ \hline B'(t) & + \\ \hline B(t) & \nearrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** Si la función siempre crece, el valor máximo en cualquier intervalo cerrado se alcanzará siempre en el extremo derecho del intervalo. $$\boxed{B'(t) = \frac{14}{(t + 4)^2} \gt 0 \implies \text{Siempre creciente}}$$

Dado que la función es creciente en el intervalo $[3, 10]$, el máximo beneficio se alcanza en el extremo superior, es decir, cuando **$t = 10$**. Calculamos el valor del beneficio para $t = 10$: $$B(10) = \frac{2(10) - 6}{10 + 4} = \frac{20 - 6}{14} = \frac{14}{14} = 1$$ Como el beneficio está expresado en cientos de miles de euros: $$\text{Beneficio} = 1 \cdot 100.000 = 100.000 \text{ €}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El máximo se alcanza a los } t=10 \text{ años con un valor de } 100.000 \text{ €}}$$

**c.- (2 puntos) ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para obtener un beneficio de 150.000 €?** Primero, convertimos los 150.000 € a las unidades de la función (cientos de miles de euros): $$150.000 \text{ €} = 1,5 \text{ cientos de miles de euros}$$ Igualamos la función a $1,5$ y resolvemos para $t$: $$1,5 = \frac{2t - 6}{t + 4}$$ $$1,5(t + 4) = 2t - 6$$ $$1,5t + 6 = 2t - 6$$ $$6 + 6 = 2t - 1,5t$$ $$12 = 0,5t \implies t = \frac{12}{0,5} = 24$$ 💡 **Tip:** Dividir por $0,5$ es equivalente a multiplicar por $2$. Asegúrate siempre de que las unidades del dato coincidan con las de la función antes de operar. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Tienen que pasar } 24 \text{ años}}$$

**d.- (2 puntos) En un horizonte infinito de tiempo, ¿existe límite para el beneficio? En caso afirmativo, ¿cuál es ese límite?** Para calcular el beneficio en un horizonte infinito, calculamos el límite de la función cuando $t \to +\infty$: $$\lim_{t \to +\infty} B(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{2t - 6}{t + 4}$$ Se trata de un límite de una función racional donde el grado del numerador es igual al grado del denominador. Dividimos los coeficientes principales: $$\lim_{t \to +\infty} \frac{2t - 6}{t + 4} = \frac{2}{1} = 2$$ El límite existe y es igual a $2$ (en cientos de miles de euros). $$\text{Valor en euros} = 2 \cdot 100.000 = 200.000 \text{ €}$$ Esto significa que la función tiene una asíntota horizontal en $y=2$, y el beneficio nunca superará esa cifra, aunque se acerque a ella indefinidamente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, el límite existe y es de } 200.000 \text{ €}}$$