Estudio de parámetros, continuidad, extremos e integrales en funciones a trozos

**a.- (5 puntos) Determina los valores de los parámetros para que $f(x)$ sea continua en $x = 0$, la función tenga un extremo relativo en $x = 1$ y $f'(-1) = -1$. Caracteriza si el extremo es máximo o mínimo.** Para que $f(x)$ sea continua en $x=0$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en dicho punto: 1. Valor de la función: $f(0) = \frac{a}{1-0} = a$. 2. Límite por la izquierda ($x \to 0^-$): $\lim_{x \to 0^-} \frac{a}{1-x} = a$. 3. Límite por la derecha ($x \to 0^+$): $\lim_{x \to 0^+} (bx^2 + 2x + c) = c$. Para que no haya un **salto entre ramas**, igualamos los resultados: $$a = c$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea continua en un punto $x=a$, se debe cumplir que $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.

Calculamos la derivada de la función en cada rama para aplicar las condiciones restantes. Para $x < 0$, usamos la regla del cociente o de la cadena: $$f'(x) = \left( a(1-x)^{-1} \right)' = -a(1-x)^{-2}(-1) = \frac{a}{(1-x)^2}$$ Para $x > 0$, derivamos el polinomio: $$f'(x) = 2bx + 2$$ La función derivada queda: $$f'(x) = \begin{cases} \frac{a}{(1-x)^2} & \text{si } x < 0 \\ 2bx + 2 & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ Se nos indica que hay un **extremo relativo en $x = 1$**. Como $1 > 0$, usamos la segunda rama: $$f'(1) = 0 \implies 2b(1) + 2 = 0 \implies 2b = -2 \implies \mathbf{b = -1}$$ 💡 **Tip:** Un extremo relativo en un punto derivable siempre cumple que la primera derivada en ese punto es igual a cero ($f'(x_0) = 0$).

Usamos la condición $f'(-1) = -1$. Como $-1 < 0$, utilizamos la primera rama de la derivada: $$f'(-1) = \frac{a}{(1 - (-1))^2} = \frac{a}{2^2} = \frac{a}{4}$$ Igualamos al valor dado: $$\frac{a}{4} = -1 \implies \mathbf{a = -4}$$ Como en el primer paso determinamos que $a = c$, entonces: $$\mathbf{c = -4}$$ Los valores de los parámetros son: $$\boxed{a = -4, b = -1, c = -4}$$

Para saber si el extremo en $x = 1$ es un máximo o un mínimo, calculamos la segunda derivada en la rama correspondiente ($x > 0$): $$f''(x) = (2bx + 2)' = 2b$$ Sustituimos el valor de $b = -1$: $$f''(1) = 2(-1) = -2$$ Como **$f''(1) < 0$**, la función presenta un **máximo relativo** en $x = 1$. 💡 **Tip:** Si $f'(x_0) = 0$, entonces: si $f''(x_0) > 0$ es un mínimo, y si $f''(x_0) < 0$ es un máximo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El extremo en } x=1 \text{ es un máximo relativo}}$$

**b.- (2 puntos) Calcula, para los valores $a = 1, b = -2, c = 3$; $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ y $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.** Sustituimos los valores en la función: $$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{1 - x} & \text{si } x \le 0 \\ -2x^2 + 2x + 3 & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ 1. **Límite cuando $x \to -\infty$** (rama de arriba): $$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{1 - x} = \frac{1}{1 - (-\infty)} = \frac{1}{+\infty} = 0$$ 2. **Límite cuando $x \to +\infty$** (rama de abajo): $$\lim_{x \to +\infty} (-2x^2 + 2x + 3) = \lim_{x \to +\infty} -2x^2 = -2(+\infty)^2 = -\infty$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty}$$

**c.- (3 puntos) Calcula, para los valores $a = 1, b = -2, c = 3$; $\int_{1}^{2} f(x) dx$.** El intervalo de integración es $[1, 2]$. Puesto que todos los valores de este intervalo son mayores que 0 ($x > 0$), debemos integrar la segunda rama de la función: $$\int_{1}^{2} (-2x^2 + 2x + 3) dx$$ Calculamos la primitiva término a término: $$\int (-2x^2 + 2x + 3) dx = -\frac{2x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} + 3x = -\frac{2x^3}{3} + x^2 + 3x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$\left[ -\frac{2x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_1^2 = \left( -\frac{2(2)^3}{3} + 2^2 + 3(2) \right) - \left( -\frac{2(1)^3}{3} + 1^2 + 3(1) \right)$$ Operamos con cuidado: $$= \left( -\frac{16}{3} + 4 + 6 \right) - \left( -\frac{2}{3} + 1 + 3 \right) = \left( -\frac{16}{3} + 10 \right) - \left( -\frac{2}{3} + 4 \right)$$ $$= \left( \frac{-16 + 30}{3} \right) - \left( \frac{-2 + 12}{3} \right) = \frac{14}{3} - \frac{10}{3} = \frac{4}{3}$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow dice que $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int_{1}^{2} f(x) dx = \frac{4}{3}}$$