Probabilidad de viajes de fin de bachillerato

Para resolver este tipo de ejercicios de probabilidad con grupos y categorías, lo más sencillo es organizar la información en una **tabla de contingencia**. Definimos los sucesos: - $C$: El alumno es de la modalidad de Ciencias. - $A$: El alumno es de la modalidad de Artes. - $I$: El alumno quiere ir a Italia. - $F$: El alumno quiere ir a Francia. - $P$: El alumno quiere ir a Portugal. Datos conocidos: - Total de alumnos: $100$. - Alumnos de Ciencias ($C$): $55$. Por tanto, los de Artes ($A$) son $100 - 55 = 45$. - Ciencias: $10$ a Italia, $25$ a Francia, $20$ a Portugal ($10 + 25 + 20 = 55$). - Artes: $30$ a Italia, $15$ a Portugal. Como son $45$ en total, a Francia van $45 - (30 + 15) = 0$. $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline & \text{Italia (I)} & \text{Francia (F)} & \text{Portugal (P)} & \text{Total} \\ \hline \text{Ciencias (C)} & 10 & 25 & 20 & 55 \\ \hline \text{Artes (A)} & 30 & 0 & 15 & 45 \\ \hline \text{Total} & 40 & 25 & 35 & 100 \\ \hline \end{array}$$ 💡 **Tip:** Comprobar siempre que las filas y las columnas sumen el total indicado ($100$ en este caso). Esto evita errores de cálculo posteriores.

**a.- (2,5 puntos) La probabilidad de que quiera ir a Portugal.** Utilizamos la **Regla de Laplace**, que define la probabilidad como el cociente entre casos favorables y casos posibles. - Casos posibles: Total de alumnos del centro = $100$. - Casos favorables: Total de alumnos que quieren ir a Portugal (la suma de los de Ciencias y Artes que eligen Portugal) = $20 + 15 = 35$. $$P(P) = \frac{\text{Alumnos que van a Portugal}}{\text{Total de alumnos}} = \frac{35}{100}$$ Simplificando o expresando en decimal: $$P(P) = 0.35$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(P) = 0.35}$$

**b.- (2,5 puntos) Probabilidad de que un alumno que quiera ir a Italia sea de Artes.** Este apartado pide una **probabilidad condicionada**. Queremos saber la probabilidad de que sea de Artes sabiendo ya que su destino es Italia, es decir, $P(A|I)$. Mirando nuestra tabla: - Restringimos el total al grupo de los que van a Italia: $40$ alumnos. - De esos $40$, ¿cuántos son de Artes?: $30$ alumnos. Aplicando la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(A|I) = \frac{P(A \cap I)}{P(I)} = \frac{30/100}{40/100} = \frac{30}{40}$$ Simplificando la fracción: $$P(A|I) = \frac{3}{4} = 0.75$$ 💡 **Tip:** En una tabla de contingencia, para calcular $P(X|Y)$, basta con dividir el valor de la casilla donde se cruzan $X$ e $Y$ entre el total de la columna/fila de la condición $Y$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A|I) = 0.75}$$

**c.- (2,5 puntos) Probabilidad de que un alumno quiera ir a Francia y sea de Ciencias.** Aquí se pide la **probabilidad de la intersección**, $P(F \cap C)$. Buscamos la probabilidad de elegir a un alumno que cumpla ambas condiciones a la vez sobre el total de la población ($100$). - Casos favorables: Alumnos que son de Ciencias **y** van a Francia = $25$. - Casos posibles: Total de alumnos = $100$. $$P(F \cap C) = \frac{25}{100} = 0.25$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(F \cap C) = 0.25}$$

**d.- (2,5 puntos) Probabilidad de que un alumno de Ciencias quiera ir a Francia.** Aunque suena parecido al apartado anterior, el enunciado dice "un alumno de Ciencias", lo que establece una condición previa. Queremos calcular $P(F|C)$. - Restringimos el total al grupo de alumnos de Ciencias: $55$ alumnos. - De esos $55$, ¿cuántos van a Francia?: $25$ alumnos. $$P(F|C) = \frac{P(F \cap C)}{P(C)} = \frac{25}{55}$$ Simplificamos dividiendo entre $5$: $$P(F|C) = \frac{5}{11} \approx 0.4545$$ 💡 **Tip:** Fíjate en la diferencia con el apartado c. En el c) el total son los 100 alumnos. En el d) el total se limita a los 55 de Ciencias. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(F|C) = \frac{5}{11} \approx 0.4545}$$