Tamaño muestral e intervalo de confianza para la media

**a.- (6 puntos) ¿A cuántos estudiantes debemos entrevistar para garantizar que el intervalo de confianza del 97% tenga una amplitud menor o igual a 0,16 horas?** Primero, identificamos los datos del problema. Trabajaremos en **horas** para mantener la coherencia con la amplitud solicitada: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 0,55$ horas. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,97$. - Amplitud máxima: $A \le 0,16$ horas. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Si $1 - \alpha = 0,97$, entonces $\alpha = 0,03$ y $\alpha/2 = 0,015$. 2. Buscamos el valor en la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,015 = 0,985$. 3. Mirando en la tabla: $P(Z \le 2,17) = 0,985$. Por lo tanto, el valor crítico es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2,17}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el nivel de confianza indica el área central de la campana de Gauss. El valor crítico $z_{\alpha/2}$ deja un área de $\alpha/2$ en cada extremo.

La amplitud ($A$) de un intervalo de confianza es el doble del error máximo admisible ($E$). Es decir, $A = 2E$, donde $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Sustituimos en la fórmula de la amplitud: $$A = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le 0,16$$ $$2 \cdot 2,17 \cdot \frac{0,55}{\sqrt{n}} \le 0,16$$ $$\frac{2,387}{\sqrt{n}} \le 0,16$$ Despejamos $n$: $$\sqrt{n} \ge \frac{2,387}{0,16} \approx 14,91875$$ $$n \ge (14,91875)^2 \approx 222,569$$ Como el número de estudiantes debe ser un número entero y buscamos garantizar que la amplitud sea **menor o igual**, redondeamos siempre al entero superior. ✅ **Resultado (tamaño muestral):** $$\boxed{n = 223 \text{ estudiantes}}$$

**b.- (3 puntos) Se ha encuestado a 100 universitarios y se ha obtenido una media de 4 horas al día. Calcula el intervalo de confianza al 97% para la media poblacional.** Datos para este apartado: - Media muestral: $\bar{x} = 4$ horas. - Tamaño de la muestra: $n = 100$. - Valor crítico (ya calculado): $z_{\alpha/2} = 2,17$. - Desviación típica: $\sigma = 0,55$. La fórmula del intervalo de confianza para la media $\mu$ es: $$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error $E$: $$E = 2,17 \cdot \frac{0,55}{\sqrt{100}} = 2,17 \cdot 0,055 = 0,11935$$ Ahora construimos el intervalo: $$IC = (4 - 0,11935, 4 + 0,11935)$$ $$IC = (3,88065, 4,11935)$$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza siempre tiene la forma $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$. ✅ **Resultado (intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (3,88065, 4,11935)}$$

**c.- (1 punto) Un informe de cierto Ministerio afirma que la media del tiempo que los universitarios pasan conectados a las redes sociales es de 5 horas al día. Razona, a la vista del apartado b.- si hay motivos para dudar de su afirmación.** Para decidir si la afirmación es razonable, comprobamos si el valor propuesto por el Ministerio ($\mu = 5$ horas) pertenece al intervalo de confianza calculado en el apartado anterior. Observamos que: $$5 \notin (3,88065, 4,11935)$$ Como el valor **5 horas** se encuentra fuera del intervalo de confianza al 97%, es un valor muy poco probable bajo las condiciones de nuestra muestra. Por lo tanto, con un nivel de confianza del 97%, podemos concluir que hay motivos suficientes para dudar de la afirmación del Ministerio. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{Sí, hay motivos para dudar pues } 5 \text{ no pertenece al intervalo calculando en b)}}$$