Sistema de ecuaciones: Reparto de tiempos de trabajo

**A. [0,9 PUNTOS] Plantear el sistema de ecuaciones que permite calcular el tiempo empleado por cada estudiante.** Primero, definimos las variables que representan las incógnitas del problema: - $x$: horas dedicadas por Cristina. - $y$: horas dedicadas por Juan. - $z$: horas dedicadas por Pedro. Ahora, traducimos el enunciado a lenguaje algebraico: 1. Cristina empleó un 40 % más que Juan: $x = y + 0.40y \implies x = 1.4y \implies x - 1.4y = 0$ Si preferimos evitar decimales, podemos multiplicar por 5: $5x - 7y = 0$. 2. Pedro dedicó la mitad del tiempo total de Cristina y Juan: $z = \frac{x + y}{2} \implies 2z = x + y \implies x + y - 2z = 0$ 3. El tiempo total fue de 18 horas: $x + y + z = 18$ 💡 **Tip:** Un aumento del 40 % equivale a multiplicar por $1.4$ (el 100 % original más el 40 % adicional). El sistema de ecuaciones queda planteado como: $$\boxed{\begin{cases} 5x - 7y = 0 \\ x + y - 2z = 0 \\ x + y + z = 18 \end{cases}}$$

**B. [0,8 PUNTOS] Analizar la compatibilidad de dicho sistema.** Para analizar la compatibilidad, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Capelli**. Escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 5 & -7 & 0 \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 5 & -7 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 18 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 5 & -7 & 0 \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = [5 \cdot 1 \cdot 1 + (-7) \cdot (-2) \cdot 1 + 0] - [0 + 5 \cdot (-2) \cdot 1 + (-7) \cdot 1 \cdot 1]$$ $$|A| = [5 + 14] - [-10 - 7] = 19 - (-17) = 19 + 17 = 36$$ Como $|A| = 36 \neq 0$: - El rango de la matriz de coeficientes es $rg(A) = 3$. - El rango de la matriz ampliada también es $rg(A^*) = 3$ (ya que no puede ser mayor que el número de columnas de $A^*$ ni menor que $rg(A)$). - El número de incógnitas es $n = 3$. 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Capelli dice que si $rg(A) = rg(A^*) = n$, el sistema es compatible determinado (tiene una única solución). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Como } rg(A) = rg(A^*) = 3, \text{ el sistema es Compatible Determinado.}}$$

**C. [0,8 PUNTOS] Resolverlo.** Podemos resolverlo por el método que prefiramos. En este caso, usaremos el método de reducción/sustitución aprovechando las ecuaciones (2) y (3): $$\begin{cases} x + y - 2z = 0 & (E_2) \\ x + y + z = 18 & (E_3) \end{cases}$$ Si restamos $(E_3) - (E_2)$: $$(x + y + z) - (x + y - 2z) = 18 - 0$$ $$3z = 18 \implies z = \frac{18}{3} = 6$$ Ahora que sabemos que $z = 6$, sustituimos en la ecuación $(E_3)$: $$x + y + 6 = 18 \implies x + y = 12 \implies x = 12 - y$$ Sustituimos este valor de $x$ en la primera ecuación ($5x - 7y = 0$): $$5(12 - y) - 7y = 0$$ $$60 - 5y - 7y = 0$$ $$60 - 12y = 0 \implies 12y = 60 \implies y = \frac{60}{12} = 5$$ Finalmente, calculamos $x$: $$x = 12 - 5 = 7$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar los resultados en las ecuaciones originales: $7 + 5 + 6 = 18$ (Correcto). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Cristina: } 7 \text{ horas} \\ &\text{Juan: } 5 \text{ horas} \\ &\text{Pedro: } 6 \text{ horas} \end{aligned}}$$