Álgebra 2021 Cantabria
Optimización de lotes comerciales mediante programación lineal
Ejercicio 2 [2,5 PUNTOS]
Una tienda de material informático dispone de 96 lapiceros con memoria USB y 15 tabletas digitales, para organizar dos tipos de lotes. Un lote A tendrá 3 lapiceros y una tableta; un lote B tendrá 6 lapiceros y una tableta. El precio de venta de un lote A es de 70 euros y el de un lote B, 160 euros. Además, el número de lotes B debe ser como máximo la mitad de lotes A. ¿Cuántos lotes deben prepararse y venderse para obtener unos ingresos máximos?
¿A cuánto ascienden esos ingresos?
Paso 1
Definición de variables y función objetivo
Para resolver este problema de programación lineal, empezamos identificando las incógnitas basándonos en lo que nos pregunta el enunciado:
- $x$: número de lotes del tipo **A**.
- $y$: número de lotes del tipo **B**.
El objetivo es maximizar los ingresos totales. Según los precios de venta dados (70 € para A y 160 € para B), la **función objetivo** es:
$$f(x, y) = 70x + 160y$$
💡 **Tip:** Siempre define claramente qué representa cada variable y escribe la función que quieres optimizar (máximo o mínimo) antes de empezar con las restricciones.
Paso 2
Planteamiento de las restricciones
Debemos traducir las limitaciones de recursos y las condiciones del problema en desigualdades matemáticas:
1. **Lapiceros USB:** Cada lote A gasta 3 y cada lote B gasta 6. Disponemos de 96.
$$3x + 6y \le 96 \implies x + 2y \le 32$$
2. **Tabletas:** Cada lote (A y B) gasta una tableta. Disponemos de 15.
$$x + y \le 15$$
3. **Relación entre lotes:** El número de lotes B ($y$) debe ser como máximo la mitad de los de A ($x$):
$$y \le \frac{x}{2} \implies 2y \le x \implies x - 2y \ge 0$$
4. **No negatividad:** No se pueden fabricar lotes negativos:
$$x \ge 0, \quad y \ge 0$$
💡 **Tip:** Simplificar las ecuaciones (como dividir entre 3 en la primera restricción) facilita mucho los cálculos posteriores.
Paso 3
Representación de la región factible
Dibujamos las rectas asociadas a las restricciones para encontrar el recinto de soluciones posibles:
- $r_1: x + 2y = 32$. Pasa por $(32, 0)$ y $(0, 16)$.
- $r_2: x + y = 15$. Pasa por $(15, 0)$ y $(0, 15)$.
- $r_3: x - 2y = 0$. Pasa por $(0, 0)$ y $(10, 5)$.
Al sombrear la zona que cumple todas las inecuaciones, obtenemos la **región factible**.
Paso 4
Cálculo de los vértices de la región factible
Los vértices son los puntos donde se cortan las rectas que limitan la región. Analizando el gráfico, los vértices son:
- **Punto O:** Origen de coordenadas: $\mathbf{(0, 0)}$.
- **Punto A:** Intersección de $y=0$ con $x+y=15$. Claramente es $\mathbf{(15, 0)}$.
- **Punto B:** Intersección de $x-2y=0$ con $x+y=15$:
$$\begin{cases} x + y = 15 \\ x = 2y \end{cases} \implies 2y + y = 15 \implies 3y = 15 \implies y = 5$$
Sustituyendo $y=5$: $x = 2(5) = 10$. El punto es $\mathbf{(10, 5)}$.
*Nota:* La restricción de los lapiceros ($x+2y \le 32$) no limita la región en este caso, ya que para el punto más restrictivo $(10,5)$, se cumple $10 + 2(5) = 20 \le 32$.
💡 **Tip:** Para hallar el punto de corte, utiliza siempre el método de sustitución o reducción con las ecuaciones de las rectas correspondientes.
Paso 5
Evaluación de la función objetivo y solución final
Evaluamos $f(x, y) = 70x + 160y$ en cada vértice para encontrar el máximo:
- $f(0, 0) = 70(0) + 160(0) = 0$ €
- $f(15, 0) = 70(15) + 160(0) = 1050$ €
- $f(10, 5) = 70(10) + 160(5) = 700 + 800 = 1500$ €
El valor máximo se alcanza con 10 lotes de tipo A y 5 lotes de tipo B.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Deben prepararse 10 lotes A y 5 lotes B para un ingreso máximo de 1500 euros}}$$