Optimización de beneficios en una agencia de viajes

**Una agencia de viajes organiza una excursión para los empleados de una empresa. Eso le supone unos gastos fijos por viajero de 475 euros además de los 850 euros del alquiler del autocar. Con un grupo de 20 personas, cobra a cada viajero 525 euros, pero presenta la siguiente oferta a la empresa: por cada nuevo viajero inscrito, rebajará el precio del viaje en 1,25 euros. ¿Con cuántos viajeros consigue unos beneficios máximos? ¿Cuánto paga cada viajero?** En primer lugar, definimos la variable principal del problema: Sea $x$ el número total de viajeros que participan en la excursión ($x \ge 20$). El enunciado nos dice que para 20 personas el precio es 525 €, pero por cada persona adicional ($x-20$), se rebaja 1,25 €. La función del precio por viajero, $P(x)$, será: $$P(x) = 525 - 1,25(x - 20)$$ Simplificamos la expresión: $$P(x) = 525 - 1,25x + 25 = 550 - 1,25x$$ Ahora, calculamos los **Ingresos totales** $I(x)$, que es el precio por viajero multiplicado por el número de viajeros: $$I(x) = x \cdot (550 - 1,25x) = 550x - 1,25x^2$$ 💡 **Tip:** Es fundamental definir correctamente si $x$ representa el total de viajeros o solo los adicionales. En este caso, usar el total simplifica el cálculo posterior de los costes.

A continuación, definimos la función de **Costes totales** $C(x)$: - Gastos fijos por viajero: $475x$ - Alquiler del autocar (coste fijo total): $850$ $$C(x) = 475x + 850$$ El **Beneficio** $B(x)$ es la diferencia entre los ingresos y los costes: $$B(x) = I(x) - C(x)$$ $$B(x) = (550x - 1,25x^2) - (475x + 850)$$ $$B(x) = -1,25x^2 + 550x - 475x - 850$$ $$B(x) = -1,25x^2 + 75x - 850$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el beneficio siempre es $\text{Ingresos} - \text{Costes}$. Ten cuidado al restar el paréntesis del coste para cambiar correctamente todos los signos.

Para maximizar el beneficio, calculamos la primera derivada $B'(x)$ e igualamos a cero: $$B'(x) = -1,25 \cdot 2x + 75 = -2,5x + 75$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$-2,5x + 75 = 0 \implies 2,5x = 75$$ $$x = \frac{75}{2,5} = 30$$ Comprobamos si es un máximo mediante la segunda derivada: $$B''(x) = -2,5$$ Como $B''(30) = -2,5 \lt 0$, confirmamos que en $x = 30$ existe un **máximo relativo**. 💡 **Tip:** En una función cuadrática $f(x)=ax^2+bx+c$, si $a \lt 0$ (parábola hacia abajo), el vértice siempre representa un máximo absoluto.

Analizamos el signo de la derivada en el dominio del problema ($x \ge 20$): $$\begin{array}{c|ccc} x & [20, 30) & 30 & (30, +\infty) \\\hline B'(x) & + & 0 & - \\ B(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ - Para $x=25$: $B'(25) = -2,5(25) + 75 = 12,5 \gt 0$ (la función crece). - Para $x=35$: $B'(35) = -2,5(35) + 75 = -12,5 \lt 0$ (la función decrece). Por tanto, el beneficio máximo se alcanza con **30 viajeros**. ✅ **Resultado (viajeros):** $$\boxed{30 \text{ viajeros}}$$

Finalmente, calculamos cuánto paga cada viajero cuando el grupo es de 30 personas utilizando la función de precio $P(x)$ definida en el paso 1: $$P(30) = 550 - 1,25(30)$$ $$P(30) = 550 - 37,5$$ $$P(30) = 512,5$$ Cada viajero paga **512,50 euros**. ✅ **Resultado (pago):** $$\boxed{512,50 \text{ €}}$$