Estudio completo de una función polinómica y cálculo de área

**A. [0,25 PUNTOS] Obtener sus puntos de corte con los ejes OX y OY.** Para hallar los puntos de corte, analizamos la función $f(x) = x^3 - 3x$: 1. **Corte con el eje OY (eje de ordenadas):** Hacemos $x = 0$. $$f(0) = 0^3 - 3(0) = 0.$$ El punto de corte es el origen: **$(0, 0)$**. 2. **Corte con el eje OX (eje de abscisas):** Hacemos $f(x) = 0$. $$x^3 - 3x = 0$$ Factorizamos la expresión extrayendo factor común $x$: $$x(x^2 - 3) = 0$$ Esto nos da dos posibilidades: - $x = 0$ - $x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3} \approx \pm 1.732$ 💡 **Tip:** Para encontrar los cortes con OX siempre igualamos la función a cero y resolvemos la ecuación resultante. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Corte OY: } (0,0) \quad \text{Cortes OX: } (0,0), (\sqrt{3}, 0), (-\sqrt{3}, 0)}$$

**B. [0,5 PUNTOS] Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos que existan.** Primero calculamos la primera derivada: $$f'(x) = 3x^2 - 3.$$ Buscamos los puntos críticos igualando a cero: $$3x^2 - 3 = 0 \implies 3x^2 = 3 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1.$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,1) & 1 & (1,+\infty)\\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\\hline \text{Función} & \text{Creciente} & \text{Máximo} & \text{Decreciente} & \text{Mínimo} & \text{Creciente} \end{array}$$ **Extremos relativos (ordenadas):** - Para $x = -1$: $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$. Hay un **Máximo relativo en $(-1, 2)$**. - Para $x = 1$: $f(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$. Hay un **Mínimo relativo en $(1, -2)$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Crecimiento: } (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) \quad \text{Decrecimiento: } (-1, 1)}$$ $$\boxed{\text{Máximo: } (-1, 2) \quad \text{Mínimo: } (1, -2)}$$

**C. [0,5 PUNTOS] Determinar sus intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión que existan.** Calculamos la segunda derivada partiendo de $f'(x) = 3x^2 - 3$: $$f''(x) = 6x.$$ Igualamos a cero para localizar posibles puntos de inflexión: $$6x = 0 \implies x = 0.$$ Analizamos el signo de $f''(x)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & 0 & (0,+\infty)\\\hline f''(x) & - & 0 & +\\\hline \text{Curvatura} & \text{Cóncava (hacia abajo)} & \text{Inflexión} & \text{Convexa (hacia arriba)} \end{array}$$ Como hay un cambio de signo en $f''(x)$ en $x=0$ y la función es continua, existe un punto de inflexión. Calculamos su ordenada: $f(0) = 0$. 💡 **Tip:** Recuerda que en algunos libros llaman cóncava a lo que otros llaman convexa. Aquí usamos cóncava para $\cap$ y convexa para $\cup$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Cóncava: } (-\infty, 0) \quad \text{Convexa: } (0, +\infty) \quad \text{P. Inflexión: } (0, 0)}$$

**D. [0,25 PUNTOS] Dibujar la gráfica de $f(x)$ e indicar la región delimitada por dicha curva y la recta $y = x$.** Primero buscamos los puntos de intersección entre la curva $y = x^3 - 3x$ y la recta $y = x$: $$x^3 - 3x = x \implies x^3 - 4x = 0$$ $$x(x^2 - 4) = 0 \implies x(x-2)(x+2) = 0$$ Los puntos de corte son $x = -2$, $x = 0$ y $x = 2$. La región delimitada consta de dos recintos cerrados entre la curva y la recta en los intervalos $[-2, 0]$ y $[0, 2]$.

**E. [1 PUNTO] Calcular el área de la región anterior.** El área total es la suma de las áreas de los dos recintos encontrados. Definimos la función diferencia $g(x) = f(x) - x = x^3 - 3x - x = x^3 - 4x$. **Recinto 1 ($x \in [-2, 0]$):** En este intervalo, la curva está por encima de la recta. $$A_1 = \int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{4x^2}{2} \right]_{-2}^{0} = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_{-2}^{0}$$ Aplicamos Barrow: $$A_1 = (0) - \left( \frac{(-2)^4}{4} - 2(-2)^2 \right) = - \left( \frac{16}{4} - 8 \right) = -(4 - 8) = 4 \text{ u}^2.$$ **Recinto 2 ($x \in [0, 2]$):** En este intervalo, la recta está por encima de la curva. $$A_2 = \int_{0}^{2} (x - (x^3 - 3x)) \, dx = \int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx = \left[ 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2}$$ $$A_2 = \left( 2(2)^2 - \frac{2^4}{4} \right) - (0) = (8 - 4) = 4 \text{ u}^2.$$ Área Total = $A_1 + A_2 = 4 + 4 = 8 \text{ u}^2$. 💡 **Tip:** Debido a la simetría impar de ambas funciones, el área de ambos recintos es idéntica. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área total} = 8 \text{ u}^2}$$