Estimación de la media y tamaño muestral

**A. [1,25 PUNTOS] Obtener el intervalo de confianza del 94 % para la media.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la variable $X$ (número de libros leídos): - Población: $N(\mu, \sigma) = N(\mu, 1)$ - Tamaño de la muestra: $n = 125$ - Media muestral: $\bar{x} = 4$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.94$ Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente a un nivel de confianza del $94\%$: 1. Si $1 - \alpha = 0.94$, entonces $\alpha = 0.06$. 2. Repartimos el error en las dos colas: $\alpha/2 = 0.03$. 3. Buscamos el valor en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.03 = 0.97$$ Mirando en la tabla de la distribución normal, el valor más cercano a $0.97$ es $0.9699$, que corresponde a: $$z_{\alpha/2} = 1.88$$ 💡 **Tip:** El nivel de confianza indica la probabilidad central. Para hallar el valor crítico en la tabla, siempre sumamos el nivel de confianza y la mitad del error restante: $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2$.

La fórmula del error máximo admisible es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$E = 1.88 \cdot \frac{1}{\sqrt{125}} = 1.88 \cdot \frac{1}{11.1803} \approx 0.1682$$ El intervalo de confianza se define como $IC = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$IC = (4 - 0.1682, 4 + 0.1682)$$ $$IC = (3.8318, 4.1682)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que a mayor tamaño de muestra ($n$), menor será el error cometido y más estrecho será el intervalo de confianza. ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (3.8318, 4.1682)}$$

**B. [1,25 PUNTOS] ¿Cuál es el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que el error cometido al estimar la media con un nivel de confianza del 97 % sea un cuarto del obtenido en el apartado anterior?** En este apartado cambian las condiciones: - Nuevo nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03 \implies \alpha/2 = 0.015$. - Buscamos el nuevo valor crítico: $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$. Buscando en la tabla normal, para una probabilidad de $0.9850$, obtenemos: $$z_{\alpha/2} = 2.17$$ El enunciado nos dice que el nuevo error ($E_{nuevo}$) debe ser un cuarto del anterior ($E_{anterior} \approx 0.1682$): $$E_{nuevo} = \frac{E_{anterior}}{4} = \frac{0.1682}{4} = 0.04205$$ 💡 **Tip:** Para trabajar con mayor precisión, es recomendable usar la fracción completa del error anterior si es posible: $E_{nuevo} = \frac{1.88}{4\sqrt{125}}$.

Utilizamos la fórmula del error despejando $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los datos del nuevo escenario: $$n = \left( \frac{2.17 \cdot 1}{0.04205} \right)^2$$ $$n = (51.6052...)^2 \approx 2663.1$$ (Nota: Si usamos el valor exacto $E = 1.88/(4\sqrt{125})$, el cálculo sería $n = \left(\frac{2.17 \cdot 4 \sqrt{125}}{1.88}\right)^2 \approx 2664.6$) Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **como máximo** ese valor, siempre debemos redondear al alza al siguiente entero: $$n = 2665$$ 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, aunque el decimal sea pequeño (ej. 2664.1), siempre se redondea hacia arriba para garantizar que el error no supere el límite establecido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 2665 \text{ alumnos}}$$