Probabilidad total y Teorema de Bayes: Instalación de un parque eólico

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos según los grupos de edad y su postura frente a la instalación: * $J$: Habitante menor de 25 años. * $M$: Habitante entre 26 y 60 años. * $S$: Habitante mayor de 60 años. * $F$: El habitante es favorable a la instalación. * $\bar{F}$: El habitante no es favorable a la instalación. Extraemos los datos del enunciado en términos de probabilidad: $P(J) = 0.23$ $P(M) = 0.31$ $P(S) = 0.46$ Probabilidades condicionadas (ser favorable según la edad): $P(F|J) = 0.68 \implies P(\bar{F}|J) = 1 - 0.68 = 0.32$ $P(F|M) = 0.53 \implies P(\bar{F}|M) = 1 - 0.53 = 0.47$ $P(F|S) = 0.42 \implies P(\bar{F}|S) = 1 - 0.42 = 0.58$ Representamos la situación con un diagrama en árbol para visualizar todos los caminos posibles: 💡 **Tip:** Recuerda que en cada nodo del árbol, la suma de las probabilidades de las ramas que salen debe ser igual a 1.

**A. [0,75 PUNTOS] ¿Cuál es la probabilidad de que sea favorable a la instalación del parque eólico?** Para calcular la probabilidad de que un habitante elegido al azar sea favorable ($F$), aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando las probabilidades de ser favorable en cada rango de edad: $$P(F) = P(J) \cdot P(F|J) + P(M) \cdot P(F|M) + P(S) \cdot P(F|S)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(F) = (0.23 \cdot 0.68) + (0.31 \cdot 0.53) + (0.46 \cdot 0.42)$$ Realizamos los cálculos intermedios: * $0.23 \cdot 0.68 = 0.1564$ * $0.31 \cdot 0.53 = 0.1643$ * $0.46 \cdot 0.42 = 0.1932$ Sumamos los resultados: $$P(F) = 0.1564 + 0.1643 + 0.1932 = 0.5139$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(F) = 0.5139}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso (ser favorable) puede ocurrir a través de varias vías excluyentes (los distintos grupos de edad).

**B. [0,75 PUNTOS] ¿Cuál es la probabilidad de que no sea favorable y mayor de 60 años?** Buscamos la probabilidad de la intersección entre ser mayor de 60 años ($S$) y no ser favorable ($\bar{F}$). Esto corresponde a seguir una rama específica del árbol: $$P(\bar{F} \cap S) = P(S) \cdot P(\bar{F}|S)$$ Sabemos que: * $P(S) = 0.46$ * $P(\bar{F}|S) = 1 - P(F|S) = 1 - 0.42 = 0.58$ Calculamos: $$P(\bar{F} \cap S) = 0.46 \cdot 0.58 = 0.2668$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{F} \cap S) = 0.2668}$$ 💡 **Tip:** En probabilidad, la palabra "y" suele indicar una intersección ($\cap$), que se calcula multiplicando las probabilidades a lo largo del camino del árbol.

**C. [1 PUNTO] Si no es favorable, ¿cuál es la probabilidad de que sea menor de 25 años?** Nos piden una probabilidad condicionada: la probabilidad de que sea joven ($J$) sabiendo que no es favorable ($\bar{F}$). Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(J|\bar{F}) = \frac{P(J \cap \bar{F})}{P(\bar{F})}$$ Primero, calculamos el denominador $P(\bar{F})$, que es el suceso contrario a ser favorable: $$P(\bar{F}) = 1 - P(F) = 1 - 0.5139 = 0.4861$$ Ahora calculamos el numerador $P(J \cap \bar{F})$: $$P(J \cap \bar{F}) = P(J) \cdot P(\bar{F}|J) = 0.23 \cdot 0.32 = 0.0736$$ Finalmente, dividimos: $$P(J|\bar{F}) = \frac{0.0736}{0.4861} \approx 0.1514$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(J|\bar{F}) \approx 0.1514}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se utiliza para calcular probabilidades "a posteriori", es decir, cuando ya conocemos el resultado final (no es favorable) y queremos saber la probabilidad de una de las causas (edad).