Sistema de ecuaciones: Tarifas de un museo

**A. [1 PUNTO] Plantear el sistema de ecuaciones que permite calcular las tres tarifas.** En primer lugar, definimos las variables que representan los precios de cada tipo de entrada: - $x$: Precio de la entrada de un adulto (en €). - $y$: Precio de la entrada de un niño (en €). - $z$: Precio de la entrada de un jubilado (en €). Ahora, traducimos las condiciones del enunciado a lenguaje algebraico: 1. "La suma de las tarifas de adulto y jubilado es cinco veces la tarifa de niño": $$x + z = 5y \implies x - 5y + z = 0$$ 2. "Un grupo de 5 adultos, 3 niños y 3 jubilados ha pagado 222 €": $$5x + 3y + 3z = 222$$ 3. "Otro grupo de 3 adultos, 2 niños y 4 jubilados ha pagado 168 €": $$3x + 2y + 4z = 168$$ 💡 **Tip:** Al plantear sistemas, es recomendable ordenar las variables ($x, y, z$) en el lado izquierdo y dejar los términos independientes a la derecha. El sistema resultante es: $$\boxed{\begin{cases} x - 5y + z = 0 \\ 5x + 3y + 3z = 222 \\ 3x + 2y + 4z = 168 \end{cases}}$$

**B. [1 PUNTO] Analizar la compatibilidad de dicho sistema.** Para analizar la compatibilidad, estudiamos el rango de la matriz de coeficientes ($A$) y de la matriz ampliada ($A^*$). $$A = \begin{pmatrix} 1 & -5 & 1 \\ 5 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -5 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & 3 & 222 \\ 3 & 2 & 4 & 168 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -5 & 1 \\ 5 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{vmatrix} = (1\cdot 3\cdot 4) + (5\cdot 2\cdot 1) + (-5\cdot 3\cdot 3) - (1\cdot 3\cdot 3) - (3\cdot 2\cdot 1) - (-5\cdot 5\cdot 4)$$ $$|A| = 12 + 10 - 45 - 9 - 6 + 100 = 62$$ Como $|A| = 62 \neq 0$, el rango de la matriz $A$ es 3: $\text{rg}(A) = 3$. Dado que el número de incógnitas es $n = 3$ y el rango de la matriz ampliada no puede ser mayor que 3 ni menor que $\text{rg}(A)$, tenemos: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n = 3$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius nos dice que si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la ampliada e igual al número de incógnitas, el sistema tiene una única solución. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El sistema es Compatible Determinado (SCD), tiene una única solución.}}$$

**C. [0,25 PUNTOS] Resolverlo.** Utilizamos la regla de Cramer para hallar los valores de $x, y, z$ aprovechando que $|A| = 62$. Para $x$: $$|A_x| = \begin{vmatrix} 0 & -5 & 1 \\ 222 & 3 & 3 \\ 168 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 0 - 2520 + 444 - 504 - 0 + 4440 = 1860 \implies x = \frac{1860}{62} = 30$$ Para $y$: $$|A_y| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 5 & 222 & 3 \\ 3 & 168 & 4 \end{vmatrix} = 888 + 0 + 840 - 666 - 504 - 0 = 558 \implies y = \frac{558}{62} = 9$$ Para $z$: $$|A_z| = \begin{vmatrix} 1 & -5 & 0 \\ 5 & 3 & 222 \\ 3 & 2 & 168 \end{vmatrix} = 504 - 3330 + 0 - 0 - 444 + 4200 = 930 \implies z = \frac{930}{62} = 15$$ 💡 **Tip:** Al aplicar Cramer, sustituye la columna de términos independientes en la posición de la variable que quieres calcular. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 30\text{ € (adulto), } y = 9\text{ € (niño), } z = 15\text{ € (jubilado)}}$$

**D. [0,25 PUNTOS] El día que una familia formada por 2 adultos, 2 niños y 3 jubilados visita el museo, se ha aplicado un descuento especial de un 15 % a cada tarifa. ¿Cuánto pagan en total?** Primero, calculamos el coste total sin descuento para el grupo: - 2 adultos: $2 \cdot 30 = 60$ € - 2 niños: $2 \cdot 9 = 18$ € - 3 jubilados: $3 \cdot 15 = 45$ € Suma total sin descuento: $60 + 18 + 45 = 123$ €. Ahora aplicamos el descuento del 15%. Aplicar un descuento del 15% es equivalente a pagar el 85% del precio ($100\% - 15\% = 85\%$): $$\text{Total con descuento} = 123 \cdot (1 - 0,15) = 123 \cdot 0,85$$ Realizamos la operación: $$123 \cdot 0,85 = 104,55$$ 💡 **Tip:** También puedes calcular el 15% de 123 y restarlo: $123 - (123 \cdot 0,15) = 123 - 18,45 = 104,55$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Pagan en total 104,55 €}}$$