Maximización de beneficios en producción (Programación Lineal)

**¿Cuántos kilogramos de cada producto se pueden obtener semanalmente para maximizar los beneficios? ¿A cuánto ascienden dichos beneficios?** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema, que representan las cantidades que queremos calcular: - $x$: Kilogramos del producto A fabricados semanalmente. - $y$: Kilogramos del producto B fabricados semanalmente. El objetivo es maximizar el beneficio total. Según el enunciado, el beneficio por kg de A es 5 € y el de B es 7 €. Por tanto, definimos la **función objetivo** como: $$f(x, y) = 5x + 7y$$ 💡 **Tip:** En problemas de programación lineal, identifica siempre qué magnitudes puedes controlar (variables) y qué quieres optimizar (función objetivo).

A continuación, traducimos las limitaciones del enunciado en desigualdades matemáticas (restricciones): 1. **Logística (Producción máxima):** La suma de kg de A y B no puede superar los 500 kg. $$x + y \le 500$$ 2. **Horas de trabajo:** El tiempo total empleado no puede exceder las 3200 horas. $$4x + 8y \le 3200 \implies x + 2y \le 800$$ 3. **Materia prima:** El uso de unidades de materia prima no puede superar las 1500. $$3,75x + 2y \le 1500$$ 4. **No negatividad:** Como no se pueden producir cantidades negativas: $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ 💡 **Tip:** Simplificar las inecuaciones (como hemos hecho con las horas de trabajo dividiendo entre 4) facilita mucho los cálculos posteriores de los puntos de corte.

Para visualizar la región factible, representamos las rectas asociadas a las restricciones: - $r_1: x + y = 500$ (Pasa por $(0, 500)$ y $(500, 0)$) - $r_2: x + 2y = 800$ (Pasa por $(0, 400)$ y $(800, 0)$) - $r_3: 3,75x + 2y = 1500$ (Pasa por $(0, 750)$ y $(400, 0)$) La región factible es el polígono sombreado que cumple todas las desigualdades simultáneamente.

Los vértices de la región factible son los candidatos a ser la solución óptima. Los localizamos mediante la intersección de las rectas: - **Vértice A (Origen):** $(0, 0)$. - **Vértice B (Eje Y):** Intersección de $r_2$ con $x=0$. Como $400 < 500$ (restricción $r_1$), el punto es $(0, 400)$. - **Vértice C (Eje X):** Intersección de $r_3$ con $y=0$. Resolvemos $3,75x = 1500 \implies x = 400$. Como $400 < 500$ ($r_1$), el punto es $(400, 0)$. - **Vértice D (Intersección $r_1$ y $r_2$):** $$\begin{cases} x + y = 500 \\ x + 2y = 800 \end{cases}$$ Restando las ecuaciones: $(x+2y) - (x+y) = 800 - 500 \implies y = 300$. Sustituyendo: $x + 300 = 500 \implies x = 200$. El punto es **$(200, 300)$**. - **Vértice E (Intersección $r_1$ y $r_3$):** $$\begin{cases} x + y = 500 \implies y = 500 - x \\ 3,75x + 2y = 1500 \end{cases}$$ $3,75x + 2(500 - x) = 1500 \implies 3,75x + 1000 - 2x = 1500 \implies 1,75x = 500 \implies x \approx 285,71, y \approx 214,29$. 💡 **Tip:** No todos los cruces de líneas son vértices. Debes comprobar que el punto obtenido cumpla el resto de inecuaciones.

Evaluamos $f(x, y) = 5x + 7y$ en cada vértice para encontrar el valor máximo: 1. $f(0, 0) = 5(0) + 7(0) = 0$ € 2. $f(0, 400) = 5(0) + 7(400) = 2800$ € 3. $f(400, 0) = 5(400) + 7(0) = 2000$ € 4. $f(200, 300) = 5(200) + 7(300) = 1000 + 2100 = 3100$ € 5. $f(285,71; 214,29) = 5(285,71) + 7(214,29) = 1428,55 + 1500,03 = 2928,58$ € El valor máximo se alcanza produciendo 200 kg del producto A y 300 kg del producto B. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Se deben obtener 200 kg de A y 300 kg de B para un beneficio máximo de 3100 euros.}}$$