Estudio de discontinuidades y límites laterales

**A. [0,5 PUNTOS] ¿En qué puntos es discontinua?** Una función racional es discontinua en aquellos puntos donde el denominador se anula, ya que no se puede dividir por cero. Por tanto, igualamos el denominador a cero: $$4x^2 + 4x - 120 = 0$$ Para facilitar el cálculo, podemos simplificar la ecuación dividiendo todos los términos entre $4$: $$x^2 + x - 30 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado mediante la fórmula general: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-30)}}{2(1)}$$ $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-1 \pm 11}{2}$$ Esto nos da dos soluciones: - $x_1 = \frac{10}{2} = 5$ - $x_2 = \frac{-12}{2} = -6$ 💡 **Tip:** Recuerda que los puntos que anulan el denominador son candidatos a ser asíntotas verticales o discontinuidades evitables, pero siempre quedan fuera del dominio. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función es discontinua en } x = 5 \text{ y } x = -6}$$

**B. [1 PUNTO] ¿Se puede definir de nuevo la función para evitar alguna discontinuidad? Justifica la respuesta.** Para evitar una discontinuidad, esta debe ser **evitable**. Esto ocurre cuando existe el límite de la función en el punto y es un valor finito, aunque la función no esté definida allí. Primero, factorizamos numerador y denominador para simplificar $f(x)$: - Numerador: $3x - 15 = 3(x - 5)$ - Denominador: $4(x - 5)(x + 6)$ $$f(x) = \frac{3(x - 5)}{4(x - 5)(x + 6)}$$ **1. Analizamos $x = 5$:** $$\lim_{x \to 5} f(x) = \lim_{x \to 5} \frac{3(x - 5)}{4(x - 5)(x + 6)} = \lim_{x \to 5} \frac{3}{4(x + 6)} = \frac{3}{4(11)} = \frac{3}{44}$$ Como el límite es un número real, la discontinuidad en $x = 5$ es **evitable**. **2. Analizamos $x = -6$:** $$\lim_{x \to -6} f(x) = \lim_{x \to -6} \frac{3}{4(x + 6)} = \frac{3}{0} = \infty$$ Al ser un límite infinito, la discontinuidad es **inevitable de salto infinito** y no se puede evitar. 💡 **Tip:** Para que una función sea continua en un punto, debe cumplirse que $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Redefinir la función consiste en asignar al punto el valor de su límite. ✅ **Redefinición para evitar la discontinuidad en $x=5$:** $$\boxed{g(x) = \begin{cases} \frac{3x - 15}{4x^2 + 4x - 120} & \text{si } x \neq 5, x \neq -6 \\ \frac{3}{44} & \text{si } x = 5 \end{cases}}$$

**C. [1 PUNTO] Calcular los dos límites laterales en $x = -6$. Interpretar gráficamente lo que ocurre en torno a dicho valor.** Utilizamos la expresión simplificada $f(x) = \frac{3}{4(x + 6)}$ para estudiar el comportamiento cerca de $-6$: **Límite por la izquierda ($x \to -6^-$):** Tomamos un valor ligeramente menor que $-6$, por ejemplo $-6.1$: $4(-6.1 + 6) = 4(-0.1) = -0.4$ (negativo). $$\lim_{x \to -6^-} \frac{3}{4(x + 6)} = \frac{3}{0^-} = -\infty$$ **Límite por la derecha ($x \to -6^+$):** Tomamos un valor ligeramente mayor que $-6$, por ejemplo $-5.9$: $4(-5.9 + 6) = 4(0.1) = 0.4$ (positivo). $$\lim_{x \to -6^+} \frac{3}{4(x + 6)} = \frac{3}{0^+} = +\infty$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to -6^-} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to -6^+} f(x) = +\infty}$$

Dado que los límites laterales en $x = -6$ son infinitos, la interpretación gráfica es que la recta **$x = -6$ es una asíntota vertical** de la función. Específicamente: - Por la izquierda de la asíntota, la gráfica de la función decrece sin límite hacia $-\infty$. - Por la derecha de la asíntota, la gráfica de la función crece sin límite hacia $+\infty$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Existe una asíntota vertical en } x = -6}$$