Estudio completo de una función racional

**A. [0,25 PUNTOS] Su dominio y los puntos de corte con los ejes OX y OY.** 1. **Dominio:** La función es racional, por lo que su dominio son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. $$(x+4)^2 = 0 \implies x+4 = 0 \implies x = -4$$ 💡 **Tip:** El dominio de una función racional $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ es $\mathbb{R} \setminus \{x \mid Q(x)=0\}$. 2. **Puntos de corte:** - **Eje OX (y = 0):** Igualamos el numerador a cero. $$3x^2 = 0 \implies x = 0 \implies \text{Punto } (0,0)$$ - **Eje OY (x = 0):** Sustituimos $x$ por 0 en la función. $$f(0) = \frac{3(0)^2}{(0+4)^2} = \frac{0}{16} = 0 \implies \text{Punto } (0,0)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Dominio: } \mathbb{R} \setminus \{-4\}; \quad \text{Corte ejes: } (0,0)}$$

**B. [0,5 PUNTOS] Las asíntotas.** 1. **Asíntotas Verticales (AV):** Comprobamos el comportamiento en los puntos fuera del dominio ($x = -4$): $$\lim_{x \to -4} \frac{3x^2}{(x+4)^2} = \frac{48}{0^+} = +\infty$$ Existe una **asíntota vertical en $x = -4$**. 2. **Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos el límite en el infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2}{(x+4)^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2}{x^2+8x+16} = 3$$ Existe una **asíntota horizontal en $y = 3$**. 3. **Asíntotas Oblicuas (AO):** Al existir asíntota horizontal en ambos lados, **no existen asíntotas oblicuas**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{AV: } x = -4; \quad \text{AH: } y = 3; \quad \text{AO: No hay}}$$

**C. [0,75 PUNTOS] Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos que existan.** Calculamos la derivada usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{6x \cdot (x+4)^2 - 3x^2 \cdot 2(x+4)}{(x+4)^4}$$ Simplificamos dividiendo numerador y denominador por $(x+4)$: $$f'(x) = \frac{6x(x+4) - 6x^2}{(x+4)^3} = \frac{6x^2 + 24x - 6x^2}{(x+4)^3} = \frac{24x}{(x+4)^3}$$ Buscamos puntos críticos ($f'(x) = 0$): $$24x = 0 \implies x = 0$$ Estudiamos el signo de $f'(x)$ teniendo en cuenta el punto crítico y la discontinuidad en $x = -4$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -4) & -4 & (-4, 0) & 0 & (0, +\infty) \\\hline f'(x) & + & \nexists & - & 0 & + \\ \text{Función} & \nearrow & \nexists & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** Para saber el signo, sustituye un valor del intervalo en $f'(x)$. Por ejemplo, $f'(-5) = \frac{-120}{(-1)^3} = 120 > 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente: } (-\infty, -4) \cup (0, +\infty); \quad \text{Decreciente: } (-4, 0); \quad \text{Mínimo relativo: } (0,0)}$$

**D. [0,75 PUNTOS] Los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión que existan.** Derivamos $f'(x) = \frac{24x}{(x+4)^3}$: $$f''(x) = \frac{24 \cdot (x+4)^3 - 24x \cdot 3(x+4)^2}{(x+4)^6} = \frac{24(x+4) - 72x}{(x+4)^4} = \frac{24x + 96 - 72x}{(x+4)^4} = \frac{96 - 48x}{(x+4)^4}$$ Buscamos candidatos a puntos de inflexión ($f''(x) = 0$): $$96 - 48x = 0 \implies 48x = 96 \implies x = 2$$ Estudiamos el signo de $f''(x)$ (el denominador $(x+4)^4$ siempre es positivo): $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -4) & -4 & (-4, 2) & 2 & (2, +\infty) \\\hline f''(x) & + & \nexists & + & 0 & - \\ \text{Curvatura} & \cup & \nexists & \cup & \text{P.I.} & \cap \end{array}$$ Para $x = 2$, calculamos la ordenada: $f(2) = \frac{3(2)^2}{(2+4)^2} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Cóncava (hacia arriba): } (-\infty, -4) \cup (-4, 2); \quad \text{Convexa (hacia abajo): } (2, +\infty); \quad \text{P.I.: } (2, 1/3)}$$

**E. [0,25 PUNTOS] Finalmente, con los datos obtenidos en los apartados anteriores, dibujar su gráfica.** Resumen para la gráfica: - Dominio: $\mathbb{R} \setminus \{-4\}$. - Corte y Mínimo en $(0,0)$. - Asíntota Vertical: $x = -4$. - Asíntota Horizontal: $y = 3$. - Punto de inflexión: $(2, 1/3)$. A continuación se presenta la representación interactiva de la función: