Probabilidad con tablas de contingencia y condicionada

Para resolver este problema, primero identificaremos los sucesos basándonos en la información de la tabla: - Sucesos de edad: - $E_1$: La persona tiene entre 18 y 40 años. - $E_2$: La persona tiene entre 41 y 60 años. - $E_3$: La persona es mayor de 60 años. - Sucesos de hábito de compra: - $C$: Ha realizado alguna compra por Internet. - $\bar{C}$: No ha realizado ninguna compra por Internet. La tabla de contingencia proporcionada resume los datos de las 2000 personas: $$\begin{array}{l|c|c|c|r} & E_1 & E_2 & E_3 & \text{Total} \\ \hline C & 468 & 325 & 250 & 1043 \\ \hline \bar{C} & 257 & 207 & 493 & 957 \\ \hline \text{Total} & 725 & 532 & 743 & 2000 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En una tabla de contingencia, los totales de las filas y columnas deben sumar el gran total (en este caso, 2000 personas). Los valores internos representan la intersección de dos sucesos.

**A. [0,75 PUNTOS] Calcular la probabilidad de que sea mayor de 60 años y haya realizado alguna compra por Internet en el último mes.** Nos piden la probabilidad de la intersección de los sucesos $E_3$ (mayor de 60 años) y $C$ (ha comprado). Es decir, buscamos $P(E_3 \cap C)$. Utilizamos la **Regla de Laplace**: $$P(S) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos posibles}}$$ - Casos favorables ($E_3 \cap C$): Observando la tabla, hay **250** personas que cumplen ambas condiciones. - Casos posibles (Total): El grupo total es de **2000** personas. Operamos: $$P(E_3 \cap C) = \frac{250}{2000} = \frac{25}{200} = \frac{1}{8} = 0.125$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(E_3 \cap C) = 0.125}$$

**B. [0,75 PUNTOS] Calcular la probabilidad de que su edad esté comprendida entre los 41 y 60 años.** En este caso, buscamos la probabilidad del suceso $E_2$. No se nos da ninguna condición previa sobre sus hábitos de compra, por lo que miramos el total de la columna de personas de esa edad. - Casos favorables (Total de $E_2$): **532** personas. - Casos posibles (Total): **2000** personas. Aplicamos de nuevo la Regla de Laplace: $$P(E_2) = \frac{532}{2000}$$ Realizamos la división: $$P(E_2) = \frac{266}{1000} = 0.266$$ 💡 **Tip:** No olvides que cuando se pide la probabilidad de un suceso simple sin condiciones, siempre se divide el total de ese grupo entre el total de la población. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(E_2) = 0.266}$$

**C. [1 PUNTO] Si sabemos que ha realizado alguna compra por Internet en el último mes, ¿cuál es la probabilidad de que su edad esté comprendida entre los 18 y 40 años?** Este apartado nos pide una **probabilidad condicionada**. Sabemos con certeza que la persona ha realizado una compra ($C$), y queremos saber la probabilidad de que pertenezca al grupo $E_1$. Se denota como $P(E_1 | C)$. La fórmula de la probabilidad condicionada es: $$P(E_1 | C) = \frac{P(E_1 \cap C)}{P(C)}$$ O, trabajando directamente con los datos de la tabla: $$P(E_1 | C) = \frac{\text{Casos favorables de } E_1 \text{ dentro de } C}{\text{Total de personas que han comprado}}$$ - Casos favorables ($E_1 \cap C$): **468**. - Casos posibles (Total de la fila $C$): **1043**. Calculamos: $$P(E_1 | C) = \frac{468}{1043} \approx 0.4487$$ 💡 **Tip:** En las tablas de contingencia, cuando te dicen "si sabemos que...", el denominador pasa a ser el total de esa fila o columna específica en lugar del total general de 2000. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(E_1 | C) \approx 0.4487}$$