Intervalo de confianza y tamaño muestral para la media

**A. [1,25 PUNTOS] Obtener el intervalo de confianza del 93 % para el tiempo medio.** En primer lugar, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para la variable $X$, que representa el tiempo de espera: - La variable sigue una distribución normal: $X \sim N(\mu, \sigma)$. - Desviación típica poblacional: $\sigma = 2$ minutos. - Tamaño de la muestra: $n = 450$. - Media muestral: $\bar{x} = 14$ minutos. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.93$. 💡 **Tip:** El intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ se calcula con la fórmula: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$

Para un nivel de confianza del $93\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Calculamos $\alpha$: $1 - \alpha = 0.93 \implies \alpha = 0.07$. 2. Dividimos el riesgo en dos colas: $\alpha/2 = 0.035$. 3. Buscamos en la tabla de la normal estándar el valor que deja por debajo una probabilidad de $1 - 0.035 = 0.965$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.965.$$ Consultando la tabla $N(0,1)$, observamos que para una probabilidad de $0.9649$ el valor es $1.81$ y para $0.9656$ es $1.82$. Tomamos el valor más cercano o realizamos una interpolación: $$z_{\alpha/2} \approx 1.81$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el nivel de confianza es el área central. El valor crítico separa el $93\%$ central del $7\%$ restante repartido en las colas.

Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.81 \cdot \frac{2}{\sqrt{450}}$$ $$E = 1.81 \cdot \frac{2}{21.213} = 1.81 \cdot 0.09428 \approx 0.1706$$ Ahora, construimos el intervalo restando y sumando el error a la media muestral: $$I.C. = (14 - 0.1706, \, 14 + 0.1706) = (13.8294, \, 14.1706)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C._{93\%} = (13.8294, \, 14.1706)}$$

**B. [1,25 PUNTOS] ¿Cuál es el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que el error cometido al estimar la media con un nivel de confianza del 90 % sea un tercio del obtenido en el apartado anterior?** En este apartado cambian dos condiciones: 1. El nuevo nivel de confianza es del $90\%$. 2. El nuevo error ($E'$) debe ser un tercio del error anterior ($E$). Calculamos el nuevo error objetivo: $$E' = \frac{E}{3} = \frac{0.1706}{3} \approx 0.05687$$ 💡 **Tip:** Mantener varios decimales en los pasos intermedios ayuda a que el resultado final del tamaño muestral sea más preciso.

Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al $90\%$: 1. $1 - \alpha = 0.90 \implies \alpha = 0.10$. 2. $\alpha/2 = 0.05$. 3. Buscamos la probabilidad acumulada: $1 - 0.05 = 0.95$. $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.95$$ En las tablas de la normal, el valor $0.95$ se encuentra exactamente entre $1.64$ y $1.65$. Por convenio se utiliza: $$z_{\alpha/2} = 1.645$$

Utilizamos la fórmula del error despejando $n$: $$E' = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E'} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E'} \right)^2$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$n = \left( \frac{1.645 \cdot 2}{0.05687} \right)^2$$ $$n = \left( \frac{3.29}{0.05687} \right)^2 \approx (57.851)^2 \approx 3346.7$$ Como buscamos el tamaño mínimo de personas y el resultado no es exacto, debemos **redondear siempre al alza** para garantizar que el error sea igual o menor al solicitado. ✅ **Resultado (Tamaño mínimo):** $$\boxed{n = 3347 \text{ personas}}$$