Optimización de ingresos mediante programación lineal

Para resolver este problema de programación lineal, lo primero es identificar qué queremos calcular y qué queremos maximizar. Definimos las variables principales: - $x$: número de lotes de tipo **A** a vender. - $y$: número de lotes de tipo **B** a vender. El objetivo es maximizar los ingresos totales. Como cada lote A se vende a $12$ euros y cada lote B a $14$ euros, la **función objetivo** será: $$f(x, y) = 12x + 14y$$ 💡 **Tip:** Siempre comienza definiendo claramente qué representa cada variable ($x$ e $y$) para no confundirte al montar las restricciones.

Debemos limitar la producción de lotes según las existencias disponibles de cada fruta (800 kg de manzanas, 800 kg de naranjas y 500 kg de plátanos). Organizamos los datos en una tabla para visualizar las necesidades de cada lote: $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Fruta} & \text{Lote A } (x) & \text{Lote B } (y) & \text{Existencias max.}\\ \hline \text{Manzanas} & 1 & 2 & 800\\ \hline \text{Naranjas} & 2 & 1 & 800\\ \hline \text{Plátanos} & 1 & 1 & 500\\ \hline \end{array}$$ Esto nos da el siguiente sistema de inecuaciones: 1. Manzanas: $x + 2y \le 800$ 2. Naranjas: $2x + y \le 800$ 3. Plátanos: $x + y \le 500$ 4. No negatividad: $x \ge 0, y \ge 0$ (no se pueden vender lotes negativos). $$\boxed{\begin{cases} x + 2y \le 800 \\ 2x + y \le 800 \\ x + y \le 500 \\ x, y \ge 0 \end{cases}}$$

Representamos las rectas asociadas a las restricciones para encontrar la región del plano que cumple todas las condiciones al mismo tiempo: - $r_1: x + 2y = 800$ (Pasa por $(800, 0)$ y $(0, 400)$) - $r_2: 2x + y = 800$ (Pasa por $(400, 0)$ y $(0, 800)$) - $r_3: x + y = 500$ (Pasa por $(500, 0)$ y $(0, 500)$) La intersección de estos semiplanos (considerando $x,y \ge 0$) forma un polígono convexo llamado **región factible**.

Los posibles puntos donde se alcanza el máximo son los vértices del polígono sombreado: - **A**: El origen $(0, 0)$. - **B**: Intersección de $2x + y = 800$ con el eje $x$ ($y=0$). $2x = 800 \implies x=400$. Punto $\mathbf{(400, 0)}$. - **C**: Intersección de $2x + y = 800$ y $x + y = 500$. Restando las ecuaciones: $(2x+y) - (x+y) = 800 - 500 \implies x = 300$. Sustituyendo: $300 + y = 500 \implies y = 200$. Punto $\mathbf{(300, 200)}$. - **D**: Intersección de $x + 2y = 800$ y $x + y = 500$. Restando las ecuaciones: $(x+2y) - (x+y) = 800 - 500 \implies y = 300$. Sustituyendo: $x + 300 = 500 \implies x = 200$. Punto $\mathbf{(200, 300)}$. - **E**: Intersección de $x + 2y = 800$ con el eje $y$ ($x=0$). $2y = 800 \implies y=400$. Punto $\mathbf{(0, 400)}$. 💡 **Tip:** Para hallar los vértices, resuelve los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que se cruzan en ese punto.

Evaluamos $f(x, y) = 12x + 14y$ en cada vértice para encontrar el valor máximo: 1. $f(0, 0) = 12(0) + 14(0) = 0$ € 2. $f(400, 0) = 12(400) + 14(0) = 4800$ € 3. $f(300, 200) = 12(300) + 14(200) = 3600 + 2800 = 6400$ € 4. $f(200, 300) = 12(200) + 14(300) = 2400 + 4200 = 6600$ € 5. $f(0, 400) = 12(0) + 14(400) = 5600$ € El valor máximo es de **6600 euros**, y se obtiene vendiendo **200 lotes del tipo A** y **300 lotes del tipo B**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{200 lotes A, 300 lotes B. Ingreso máximo: 6600 euros}}$$