Operaciones con matrices y ecuaciones matriciales

**a) Calcular la matriz $Y = A^2 + BB^t$ donde $B^t$ es la matriz traspuesta de $B$.** Primero, calculamos $A^2$, que consiste en multiplicar la matriz $A$ por sí misma ($A \cdot A$): $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto siguiendo la regla de fila por columna: - Elemento (1,1): $(1 \cdot 1) + (2 \cdot (-1)) = 1 - 2 = -1$ - Elemento (1,2): $(1 \cdot 2) + (2 \cdot 1) = 2 + 2 = 4$ - Elemento (2,1): $((-1) \cdot 1) + (1 \cdot (-1)) = -1 - 1 = -2$ - Elemento (2,2): $((-1) \cdot 2) + (1 \cdot 1) = -2 + 1 = -1$ Obtenemos: $$A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el de filas de la segunda. El elemento $c_{ij}$ es la suma de los productos de la fila $i$ de la primera por la columna $j$ de la segunda.

A continuación, calculamos el término $BB^t$. La matriz $B$ es una matriz columna de $2 \times 1$, por lo que su traspuesta $B^t$ será una matriz fila de $1 \times 2$: $$B^t = \begin{pmatrix} 1 & -2 \end{pmatrix}$$ Calculamos el producto $BB^t$, que resultará en una matriz de $2 \times 2$: $$BB^t = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 & 1 \cdot (-2) \\ -2 \cdot 1 & -2 \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Al multiplicar una matriz de $m \times n$ por una de $n \times p$, el resultado es una matriz de $m \times p$. En este caso, $(2 \times 1) \cdot (1 \times 2) = (2 \times 2)$.

Finalmente, sumamos las dos matrices obtenidas para hallar $Y$: $$Y = A^2 + BB^t = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$$ Sumamos elemento a elemento: $$Y = \begin{pmatrix} -1+1 & 4+(-2) \\ -2+(-2) & -1+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final (a):** $$\boxed{Y = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}}$$

**b) Determinar la matriz $X$ para que se verifique la ecuación $2AX = B$.** Para despejar $X$ en la ecuación $2AX = B$, primero dividimos entre 2: $$AX = \frac{1}{2}B$$ Para aislar $X$, debemos multiplicar por la izquierda por la matriz inversa de $A$ ($A^{-1}$), siempre que esta exista. Comprobamos si el determinante de $A$ es distinto de cero: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1) - (2 \cdot (-1)) = 1 + 2 = 3$$ Como $|A| = 3 \neq 0$, la matriz $A$ es invertible y la ecuación tiene solución única: $$X = A^{-1} \cdot \left(\frac{1}{2}B\right) = \frac{1}{2} A^{-1} B$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden importa. Si multiplicamos por la inversa por la izquierda en un lado, debemos hacerlo por la izquierda en el otro: $A^{-1}AX = A^{-1}(\dots)$.

Calculamos $A^{-1}$ usando la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$: 1. Matriz de cofactores de $A$: - $c_{11} = 1$ - $c_{12} = -(-1) = 1$ - $c_{21} = -2$ - $c_{22} = 1$ $$\text{Cof}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$ 2. Matriz adjunta (traspuesta de los cofactores): $$\text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Inversa: $$A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Sustituimos $A^{-1}$ y $B$ en la expresión de $X$: $$X = \frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos la matriz por el vector columna: - Fila 1: $(1 \cdot 1) + ((-2) \cdot (-2)) = 1 + 4 = 5$ - Fila 2: $(1 \cdot 1) + (1 \cdot (-2)) = 1 - 2 = -1$ $$X = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5/6 \\ -1/6 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final (b):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 5/6 \\ -1/6 \end{pmatrix}}$$