Estudio de las zancadas de un corredor

**a) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y calcular el momento en el que alcanza el número de zancadas mínimo. ¿Cuál es el número de zancadas mínimo? (hasta 2 puntos).** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, primero calculamos la derivada de la función $f(x)$ en cada uno de sus tramos: 1. En el primer tramo ($0 \lt x \lt 40$), la función es constante ($f(x) = 70$), por lo que su derivada es cero: $$f'(x) = 0$$ 2. En el segundo tramo ($40 \lt x \lt 60$), derivamos el polinomio: $$f'(x) = \frac{1}{10}(2x) - 11 = \frac{1}{5}x - 11$$ Definimos la función derivada (en los intervalos abiertos): $$f'(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } 0 < x < 40 \\ \frac{1}{5}x - 11 & \text{si } 40 < x < 60 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una constante es 0 y para derivar $x^n$ bajamos el exponente multiplicando y restamos uno al grado: $(x^2)' = 2x$.

Buscamos los puntos donde la derivada se anula para encontrar posibles extremos relativos. El primer tramo es constante, así que buscamos en el segundo tramo: $$\frac{1}{5}x - 11 = 0 \implies \frac{x}{5} = 11 \implies x = 55$$ Como $x=55$ pertenece al intervalo $(40, 60)$, es un punto crítico. Ahora estudiamos el signo de la derivada en los diferentes intervalos del dominio $(0, 60)$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (0, 40) & 40 & (40, 55) & 55 & (55, 60)\\\hline f'(x) & 0 & \nexists & - & 0 & +\\\hline \text{Monotonía} & \text{Constante} & \text{Salto} & \text{Decrece (}\searrow\text{)} & \text{Mínimo} & \text{Crece (}\nearrow\text{)} \end{array}$$ **Justificación de los signos:** - En $(40, 55)$, tomamos $x=50$: $f'(50) = \frac{1}{5}(50) - 11 = 10 - 11 = -1 < 0$. - En $(55, 60)$, tomamos $x=58$: $f'(58) = \frac{1}{5}(58) - 11 = 11.6 - 11 = 0.6 > 0$. 💡 **Tip:** Si $f'(x) > 0$ la función crece, y si $f'(x) < 0$ la función decrece. Si $f'(x) = 0$ en un intervalo, la función es constante.

A partir del estudio de la monotonía, observamos que la función es constante hasta el minuto 40, luego decrece hasta el minuto 55 y finalmente crece hasta el minuto 60. Por tanto, el **mínimo** se alcanza en el momento **$x = 55$ minutos**. Calculamos el valor de la función en ese punto: $$f(55) = \frac{1}{10}(55)^2 - 11(55) + 350$$ $$f(55) = \frac{3025}{10} - 605 + 350$$ $$f(55) = 302.5 - 605 + 350 = 47.5$$ ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{\begin{matrix} \text{Crecimiento: } (55, 60) \\ \text{Decrecimiento: } (40, 55) \\ \text{Constante: } (0, 40) \\ \text{Momento mínimo: } x = 55 \text{ min} \\ \text{Zancadas mínimas: } 47.5 \end{matrix}}$$

**b) Representar gráficamente la función $f(x)$, justificando brevemente la representación gráfica obtenida (hasta 1 punto).** Para representar la función, analizamos sus características principales: 1. **Continuidad en el punto de división ($x=40$):** - $f(40) = 70$ - $\lim_{x \to 40^-} f(x) = 70$ - $\lim_{x \to 40^+} f(x) = \frac{1}{10}(40)^2 - 11(40) + 350 = 160 - 440 + 350 = 70$ Como los límites laterales coinciden con el valor de la función, es **continua en $x=40$**. 2. **Tramos:** - De $0$ a $40$: Es una función constante (recta horizontal $y=70$). - De $40$ a $60$: Es un trozo de parábola con curvatura hacia arriba (convexa), cuyo vértice (mínimo) está en $(55, 47.5)$. 3. **Puntos clave para el dibujo:** - Inicio: $(0, 70)$ - Punto de cambio: $(40, 70)$ - Mínimo: $(55, 47.5)$ - Final: $f(60) = \frac{1}{10}(60)^2 - 11(60) + 350 = 360 - 660 + 350 = 50 \implies (60, 50)$

A continuación se muestra la representación gráfica de la función, donde se aprecia el tramo constante inicial y la parábola posterior.