Beneficio neto y cálculo de áreas

**a) Hallar el valor de $a$ sabiendo que un gasto en publicidad de 10000 euros proporciona un beneficio neto de 10 millones de euros.** Primero, debemos ajustar las unidades del enunciado a las de la función $B(x)$: - El gasto en publicidad $x$ está expresado en miles de euros. Por tanto, si el gasto es de $10\,000$ euros: $$x = \frac{10\,000}{1\,000} = 10$$ - El beneficio $B$ está expresado en miles de euros. Si el beneficio es de $10$ millones de euros ($10\,000\,000$ euros): $$B = \frac{10\,000\,000}{1\,000} = 10\,000$$ 💡 **Tip:** Es fundamental leer bien las unidades en problemas de contexto. Aquí, tanto $x$ como $B(x)$ trabajan en "miles de euros".

Sustituimos el punto $(10, 10\,000)$ en la función $B(x) = -20x^2 + 1200x + a$: $$10\,000 = -20(10)^2 + 1200(10) + a$$ $$10\,000 = -20(100) + 12\,000 + a$$ $$10\,000 = -2\,000 + 12\,000 + a$$ $$10\,000 = 10\,000 + a$$ Despejando $a$: $$a = 10\,000 - 10\,000 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 0}$$

**b) Para $a = 2000$, calcular el área delimitada por $B(x)$ y el eje $OX$ en el intervalo $[0, 1]$.** Con $a = 2000$, la función es $B(x) = -20x^2 + 1200x + 2000$. Para calcular el área en el intervalo $[0, 1]$, debemos comprobar si la función corta al eje $OX$ en ese intervalo (cambio de signo). Resolvemos $B(x) = 0$: $$-20x^2 + 1200x + 2000 = 0 \implies x^2 - 60x - 100 = 0$$ Utilizamos la fórmula cuadrática: $$x = \frac{60 \pm \sqrt{(-60)^2 - 4(1)(-100)}}{2} = \frac{60 \pm \sqrt{3600 + 400}}{2} = \frac{60 \pm \sqrt{4000}}{2}$$ Las raíces son aproximadamente $x_1 \approx 61.62$ y $x_2 \approx -1.62$. Como ninguna de estas raíces pertenece al intervalo $(0, 1)$, la función no corta al eje en dicho intervalo. Evaluando en un punto, por ejemplo $B(0) = 2000 > 0$, sabemos que la función es **siempre positiva** en $[0, 1]$. 💡 **Tip:** Si una función es continua y no tiene raíces en un intervalo, su signo es constante en todo ese intervalo.

Puesto que $B(x) \gt 0$ en $[0, 1]$, el área $A$ es simplemente la integral definida: $$A = \int_{0}^{1} (-20x^2 + 1200x + 2000) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$A = \left[ -\frac{20x^3}{3} + \frac{1200x^2}{2} + 2000x \right]_{0}^{1} = \left[ -\frac{20x^3}{3} + 600x^2 + 2000x \right]_{0}^{1}$$ Aplicamos la Regla de Barrow: $$A = \left( -\frac{20(1)^3}{3} + 600(1)^2 + 2000(1) \right) - (0)$$ $$A = -\frac{20}{3} + 600 + 2000 = 2600 - \frac{20}{3}$$ $$A = \frac{7800 - 20}{3} = \frac{7780}{3} \approx 2593.33$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{7780}{3} \text{ unidades}^2 \approx 2593.33 \text{ u}^2}$$