Probabilidad y Estadística 2021 Castilla y Leon
Probabilidad en estudio de mercado de café
Una empresa destinada a la comercialización de cápsulas de café realiza un estudio de mercado entre un grupo de personas donde el 60 % son hombres y el 40 % restante son mujeres. La empresa comprueba que el 55 % de los hombres prefieren cápsulas de café capuchino, porcentaje que se eleva al 80 % en el caso de las mujeres.
a) Calcular la probabilidad de elegir una persona de ese grupo que resulte ser hombre y que prefiera cápsulas de café capuchino.
b) ¿Con qué probabilidad una persona elegida al azar de ese grupo prefiere cápsulas de café capuchino?
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
Para resolver este problema, primero definimos los sucesos principales y organizamos la información en un diagrama de árbol para visualizar las probabilidades.
Definimos los siguientes sucesos:
- $H$: La persona elegida es hombre.
- $M$: La persona elegida es mujer.
- $C$: La persona prefiere cápsulas de café capuchino.
- $\bar{C}$: La persona no prefiere cápsulas de café capuchino.
Datos del enunciado:
- $P(H) = 60\% = 0,60$
- $P(M) = 40\% = 0,40$
- $P(C|H) = 55\% = 0,55$ (Probabilidad de que prefiera capuchino dado que es hombre)
- $P(C|M) = 80\% = 0,80$ (Probabilidad de que prefiera capuchino dado que es mujer)
Presentamos el **árbol de probabilidad**:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de ser hombre y preferir capuchino
**a) Calcular la probabilidad de elegir una persona de ese grupo que resulte ser hombre y que prefiera cápsulas de café capuchino.**
Este apartado nos pide la probabilidad de la intersección de dos sucesos: que sea hombre ($H$) y que prefiera capuchino ($C$).
Usamos la fórmula de la probabilidad condicionada (o simplemente seguimos la rama correspondiente del árbol):
$$P(H \cap C) = P(H) \cdot P(C|H)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(H \cap C) = 0,60 \cdot 0,55 = 0,33$$
Esto significa que hay un **33 %** de probabilidades de que la persona elegida cumpla ambas condiciones.
💡 **Tip:** Recuerda que la palabra "y" en probabilidad suele indicar una intersección (producto de probabilidades en el árbol).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(H \cap C) = 0,33}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad total de preferir capuchino
**b) ¿Con qué probabilidad una persona elegida al azar de ese grupo prefiere cápsulas de café capuchino?**
Para calcular la probabilidad de que una persona prefiera capuchino, independientemente de si es hombre o mujer, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**.
El suceso $C$ puede ocurrir de dos formas: que sea hombre y prefiera capuchino, o que sea mujer y prefiera capuchino. Matemáticamente:
$$P(C) = P(H \cap C) + P(M \cap C)$$
$$P(C) = P(H) \cdot P(C|H) + P(M) \cdot P(C|M)$$
Ya conocemos el valor de $P(H \cap C)$ del apartado anterior y calculamos el segundo término:
- $P(H \cap C) = 0,33$
- $P(M \cap C) = 0,40 \cdot 0,80 = 0,32$
Sumamos ambos resultados:
$$P(C) = 0,33 + 0,32 = 0,65$$
Por tanto, la probabilidad de que una persona elegida al azar prefiera café capuchino es del **65 %**.
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso puede ocurrir a través de varios "caminos" o categorías excluyentes (en este caso, hombres y mujeres).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(C) = 0,65}$$