Distribución normal de la suma y media muestral

**a) Calcular la probabilidad de que le dé tiempo a revisar los 75 expedientes si en esa semana el auditor trabaja 35 horas (2100 minutos).** Definimos la variable aleatoria $X$ como el tiempo que tarda el auditor en revisar un expediente. Según el enunciado: $$X \sim N(30, 10)$$ Como el auditor tiene que revisar $n = 75$ expedientes, el tiempo total $S$ es la suma de los tiempos individuales ($S = X_1 + X_2 + \dots + X_{75}$). Sabemos que la suma de variables normales independientes sigue también una distribución normal con los siguientes parámetros: - Media: $\mu_S = n \cdot \mu = 75 \cdot 30 = 2250$ minutos. - Desviación típica: $\sigma_S = \sigma \cdot \sqrt{n} = 10 \cdot \sqrt{75} \approx 10 \cdot 8.66 = 86.60$ minutos. Por tanto, la variable tiempo total se distribuye como: $$S \sim N(2250, 86.60)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si $X \sim N(\mu, \sigma)$, entonces la suma de $n$ variables independientes sigue una $N(n\mu, \sigma\sqrt{n})$.

Queremos calcular la probabilidad de que el tiempo total sea menor o igual a 2100 minutos, es decir, $P(S \le 2100)$. Primero, tipificamos la variable para poder usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$: $$Z = \frac{S - \mu_S}{\sigma_S} = \frac{2100 - 2250}{86.60} = \frac{-150}{86.60} \approx -1.73$$ Ahora calculamos la probabilidad: $$P(S \le 2100) = P(Z \le -1.73)$$ Por simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \le -1.73) = P(Z \ge 1.73) = 1 - P(Z \le 1.73)$$ Buscando en la tabla de la normal $N(0, 1)$ el valor para $1.73$, obtenemos $0.9582$: $$P(S \le 2100) = 1 - 0.9582 = 0.0418$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S \le 2100) = 0.0418}$$ La probabilidad de que termine a tiempo es de un **4.18%**.

**b) Calcular la probabilidad de que el tiempo medio dedicado a revisar los 75 expedientes esté entre 28 y 33 minutos.** En este apartado trabajamos con la **media muestral** $\bar{X}$ de $n = 75$ expedientes. La teoría nos dice que la media muestral de una población normal $N(\mu, \sigma)$ sigue una distribución normal con: - Media: $\mu_{\bar{X}} = \mu = 30$ minutos. - Desviación típica (error estándar): $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{10}{\sqrt{75}} \approx \frac{10}{8.66} \approx 1.1547$ minutos. Por tanto: $$\bar{X} \sim N(30, 1.1547)$$ 💡 **Tip:** No confundas la distribución de la suma (usada en el apartado a) con la distribución de la media (usada aquí). En la media, la desviación típica se divide por $\sqrt{n}$.

Buscamos la probabilidad $P(28 \le \bar{X} \le 33)$. Tipificamos ambos valores usando $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$: Para $x = 28$: $$Z_1 = \frac{28 - 30}{1.1547} = \frac{-2}{1.1547} \approx -1.73$$ Para $x = 33$: $$Z_2 = \frac{33 - 30}{1.1547} = \frac{3}{1.1547} \approx 2.60$$ Calculamos la probabilidad en el intervalo: $$P(-1.73 \le Z \le 2.60) = P(Z \le 2.60) - P(Z \le -1.73)$$ Como vimos antes, $P(Z \le -1.73) = 1 - P(Z \le 1.73)$. Buscamos los valores en la tabla: - $P(Z \le 2.60) = 0.9953$ - $P(Z \le 1.73) = 0.9582 \implies P(Z \le -1.73) = 1 - 0.9582 = 0.0418$ Operamos: $$P(28 \le \bar{X} \le 33) = 0.9953 - 0.0418 = 0.9535$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(28 \le \bar{X} \le 33) = 0.9535}$$ Hay una probabilidad del **95.35%** de que la media de tiempo por expediente esté en ese rango.