Construcción de un sistema incompatible

**Añadir una ecuación al sistema $\begin{cases} x + y + z = 2 \\ x - y - z = 0 \end{cases}$, de forma que el sistema resultante sea incompatible.** Para que un sistema sea **incompatible** (que no tenga solución), según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el rango de la matriz de coeficientes ($A$) debe ser distinto al rango de la matriz ampliada ($A^*$). Analizamos el sistema inicial con dos ecuaciones y tres incógnitas: - Ecuación 1 ($E_1$): $x + y + z = 2$ - Ecuación 2 ($E_2$): $x - y - z = 0$ Si sumamos ambas ecuaciones miembro a miembro, obtenemos: $$(x + y + z) + (x - y - z) = 2 + 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1$$ Esto significa que en cualquier solución del sistema original, $x$ debe valer necesariamente $1$. 💡 **Tip:** Un sistema es incompatible cuando llegamos a una contradicción matemática (como decir que $0 = 5$ o que una misma expresión vale dos resultados distintos).

Para crear una contradicción, podemos añadir una ecuación que sea idéntica en su parte literal (las letras) a una de las existentes o a una combinación de ellas, pero que tenga un término independiente diferente. Elegimos, por ejemplo, utilizar la misma parte izquierda de la primera ecuación pero igualándola a un número distinto de $2$. Propuesta de tercera ecuación ($E_3$): $$x + y + z = 5$$ El sistema resultante sería: $$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ x - y - z = 0 \\ x + y + z = 5 \end{cases}$$ Es evidente la incompatibilidad: la suma $x+y+z$ no puede ser igual a $2$ y a $5$ al mismo tiempo. ✅ **Resultado propuesto:** $$\boxed{x + y + z = 5}$$

Vamos a demostrar formalmente que el sistema con la ecuación añadida es incompatible calculando los rangos de la matriz de coeficientes $A$ y de la matriz ampliada $A^*$. $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 5 \end{pmatrix}$$ **1. Rango de $A$:** Observamos que la fila 1 ($F_1$) y la fila 3 ($F_3$) son iguales. Por tanto, el determinante de la matriz $3 \times 3$ es $0$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (1 \cdot (-1)) - (1 \cdot 1) = -1 - 1 = -2 \neq 0$$ Por tanto, **$rg(A) = 2$**. **2. Rango de $A^*$:** Calculamos el determinante de una submatriz $3 \times 3$ que incluya la columna de términos independientes (columnas 1, 2 y 4): $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 5 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$\text{Det} = [ (1 \cdot (-1) \cdot 5) + (1 \cdot 0 \cdot 1) + (2 \cdot 1 \cdot 1) ] - [ (2 \cdot (-1) \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 5) + (1 \cdot 0 \cdot 1) ]$$ $$\text{Det} = [ -5 + 0 + 2 ] - [ -2 + 5 + 0 ] = -3 - (3) = -6 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 distinto de cero en la ampliada, **$rg(A^*) = 3$**. 💡 **Tip:** Recuerda que si $rg(A) \neq rg(A^*)$, el sistema no tiene solución. **Conclusión:** Como $rg(A) = 2$ y $rg(A^*) = 3$, según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **incompatible**.