Optimización de la producción de una panadería

Para resolver este problema de programación lineal, empezamos definiendo las variables de decisión que representan lo que queremos calcular: $x$: número de tartas horneadas. $y$: número de bizcochos horneados. El objetivo es maximizar los ingresos totales. Según el enunciado, cada tarta se vende a 10 € y cada bizcocho a 6 €, por lo que la **función objetivo** será: $$f(x, y) = 10x + 6y$$ 💡 **Tip:** Identifica siempre las variables de decisión a partir de la pregunta final del enunciado (¿qué cantidad de cada producto hay que hornear?).

Debemos tener en cuenta las limitaciones de ingredientes y las condiciones de producción. Primero, pasamos todas las cantidades a las mismas unidades (gramos): - Harina: $6 \text{ kg} = 6000 \text{ g}$ - Azúcar: $2.4 \text{ kg} = 2400 \text{ g}$ Las restricciones son: 1. **Harina:** $400x + 300y \le 6000$. Dividiendo entre 100 simplificamos a: $4x + 3y \le 60$. 2. **Azúcar:** $200x + 100y \le 2400$. Dividiendo entre 100 simplificamos a: $2x + y \le 24$. 3. **Mínimo de bizcochos:** $y \ge 6$. 4. **No negatividad:** $x \ge 0$ (no se pueden hornear cantidades negativas). 💡 **Tip:** Simplificar las ecuaciones de las rectas dividiendo por divisores comunes facilita mucho los cálculos posteriores y la representación gráfica.

Dibujamos las rectas asociadas a las restricciones para encontrar la región factible (zona donde se cumplen todas las condiciones): - Para $4x + 3y = 60$: Si $x=0, y=20$; si $y=0, x=15$. Pasa por $(0, 20)$ y $(15, 0)$. - Para $2x + y = 24$: Si $x=0, y=24$; si $y=0, x=12$. Pasa por $(0, 24)$ y $(12, 0)$. - Para $y = 6$: Es una recta horizontal que pasa por $y=6$. - Para $x = 0$: Es el propio eje de ordenadas ($y$). La intersección de estos semiplanos nos da un polígono convexo cuyos vértices debemos calcular.

Los vértices son los puntos de corte de las rectas que limitan la región: - **Punto A:** Intersección de $x=0$ y $y=6$. $\implies \mathbf{A(0, 6)}$ - **Punto B:** Intersección de $x=0$ y $4x+3y=60$. $3y=60 \implies y=20$. $\implies \mathbf{B(0, 20)}$ - **Punto C:** Intersección de $4x+3y=60$ y $2x+y=24$. Resolvemos el sistema: $$ \begin{cases} 4x + 3y = 60 \\ 2x + y = 24 \implies y = 24 - 2x \end{cases} $$ Sustituimos: $4x + 3(24-2x) = 60 \implies 4x + 72 - 6x = 60 \implies -2x = -12 \implies x=6$. $y = 24 - 2(6) = 12$. $\implies \mathbf{C(6, 12)}$ - **Punto D:** Intersección de $2x+y=24$ y $y=6$. $2x + 6 = 24 \implies 2x = 18 \implies x=9$. $\implies \mathbf{D(9, 6)}$

Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 10x + 6y$ en cada uno de los vértices hallados para encontrar el valor máximo: - En $A(0, 6)$: $f(0, 6) = 10(0) + 6(6) = 36$ € - En $B(0, 20)$: $f(0, 20) = 10(0) + 6(20) = 120$ € - En $C(6, 12)$: $f(6, 12) = 10(6) + 6(12) = 60 + 72 = 132$ € - En $D(9, 6)$: $f(9, 6) = 10(9) + 6(6) = 90 + 36 = 126$ € El valor máximo es de 132 €, que se alcanza en el punto $(6, 12)$. 💡 **Tip:** Según el Teorema Fundamental de la Programación Lineal, si existe una solución óptima, esta debe encontrarse en uno de los vértices de la región factible. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Se deben hornear 6 tartas y 12 bizcochos para obtener un ingreso máximo de 132 €}}$$