Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) Clasificar el sistema según sus soluciones para los diferentes valores de $a$.** Para clasificar el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**. Empezamos escribiendo la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$): $$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -a \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 1 \\ 1 & 1 & -a & | & 1 \\ 1 & 2 & -2 & | & -2 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante de la matriz $A$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -a \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 \cdot (-2)) + (-2 \cdot (-a) \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 2) - [1 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-a) \cdot 1 + (-2) \cdot (-2) \cdot 1]$$ Operamos paso a paso: $$|A| = (-2) + 2a + 2 - [1 - 2a + 4] = 2a - (5 - 2a) = 4a - 5$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$4a - 5 = 0 \implies 4a = 5 \implies a = \frac{5}{4}$$ 💡 **Tip:** El valor de $a$ que hace que el determinante sea cero es el que separa los casos en los que el sistema tiene una solución única de los casos en los que puede no tener ninguna o infinitas.

Analizamos los diferentes casos según el valor de $a$ aplicando el Teorema de Rouché-Frobenius: **Caso 1: Si $a \neq \frac{5}{4}$** En este caso, $|A| \neq 0$, lo que implica que el rango de la matriz $A$ es 3. Como el rango máximo de la matriz ampliada $A^*$ también es 3 y coincide con el número de incógnitas ($n=3$): $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = \text{nº incógnitas}$$ El sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una solución única. **Caso 2: Si $a = \frac{5}{4}$** Si $a = 5/4$, sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Comprobamos si hay algún menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-2) = 3 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$ analizando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = (-2) + (-2) + 2 - [1 + 2 + 4] = -2 - 7 = -9 \neq 0$$ Como este determinante es distinto de cero, $\text{rg}(A^*) = 3$. Comparando rangos: $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$. El sistema es **Incompatible (SI)**, no tiene solución. ✅ **Resultado (Clasificación):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \neq 5/4: \text{S. Compatible Determinado} \\ \text{Si } a = 5/4: \text{S. Incompatible} \end{cases}}$$

**b) Resolver el sistema para $a = 1$.** Como $1 \neq 5/4$, estamos ante un **Sistema Compatible Determinado**. El sistema a resolver es: $$\begin{cases} x - 2y + z = 1 \\ x + y - z = 1 \\ x + 2y - 2z = -2 \end{cases}$$ Ya sabemos que $|A| = 4(1) - 5 = -1$. Aplicamos la **Regla de Cramer**: Para $x$: $$x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -2 & 2 & -2 \end{vmatrix}}{-1} = \frac{-2 - 4 + 2 - (-2 - 2 + 4)}{-1} = \frac{-4 - 0}{-1} = 4$$ Para $y$: $$y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & -2 \end{vmatrix}}{-1} = \frac{-2 - 1 - 2 - (1 + 2 - 2)}{-1} = \frac{-5 - 1}{-1} = 6$$ Para $z$: $$z = \frac{\begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix}}{-1} = \frac{-2 - 2 + 2 - (1 + 2 + 4)}{-1} = \frac{-2 - 7}{-1} = 9$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones originales para comprobar que la solución es correcta. ✅ **Resultado (Solución):** $$\boxed{x = 4, \quad y = 6, \quad z = 9}$$