Continuidad y área de una función a trozos

**a) Determinar el valor de $b$ para que $f(x)$ sea continua.** Para que la función $f(x)$ sea continua en todo su dominio, debemos analizar el punto donde cambia de rama, que es $x=1$. En las demás regiones, las funciones son continuas por ser un polinomio ($4-x^2$) y una función racional con el denominador distinto de cero ($b/x$ para $x \gt 1$). Para que $f(x)$ sea continua en $x=1$, deben cumplirse tres condiciones: 1. Que exista el valor de la función en el punto: $f(1)$. 2. Que exista el límite de la función cuando $x$ tiende a 1: $\lim_{x \to 1} f(x)$. 3. Que ambos valores coincidan: $f(1) = \lim_{x \to 1} f(x)$. 💡 **Tip:** El límite existe si los límites laterales son iguales: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x)$.

Calculamos el valor de la función y los límites laterales en $x=1$: - Valor de la función ($x=1$ entra en la primera rama): $$f(1) = 4 - (1)^2 = 4 - 1 = 3$$ - Límite por la izquierda ($x \to 1^-$): $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1} (4 - x^2) = 4 - 1^2 = 3$$ - Límite por la derecha ($x \to 1^+$): $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{b}{x} = \frac{b}{1} = b$$ Para que sea continua, igualamos los resultados: $$3 = b$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{b = 3}$$

**b) Calcular el área delimitada por $f(x)$ y el eje $OX$ en el intervalo (0, 1).** Primero identificamos qué rama de la función corresponde al intervalo $(0, 1)$. Como los valores de $x$ en este intervalo cumplen $x \le 1$, utilizaremos la primera expresión: $$f(x) = 4 - x^2$$ El eje $OX$ es la recta $y=0$. Debemos comprobar si la función corta al eje $OX$ dentro del intervalo $(0, 1)$: $$4 - x^2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$ Como los puntos de corte $x=2$ y $x=-2$ están fuera del intervalo $(0, 1)$, la función no cruza el eje en ese tramo. Además, para cualquier valor entre 0 y 1, $f(x) \gt 0$, por lo que el área viene dada directamente por la integral definida. 💡 **Tip:** El área de una función positiva respecto al eje $OX$ en un intervalo $(a, b)$ es $\int_a^b f(x) \, dx$.

Calculamos el área mediante la integral definida de 0 a 1: $$A = \int_{0}^{1} (4 - x^2) \, dx$$ Calculamos la primitiva (integral indefinida): $$\int (4 - x^2) \, dx = 4x - \frac{x^3}{3}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** evaluando en los límites de integración: $$A = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}$$ $$A = \left( 4(1) - \frac{1^3}{3} \right) - \left( 4(0) - \frac{0^3}{3} \right)$$ $$A = \left( 4 - \frac{1}{3} \right) - (0)$$ $$A = \frac{12 - 1}{3} = \frac{11}{3} \text{ unidades}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = \frac{11}{3} \approx 3,67 \text{ u}^2}$$