Evolución del número de socios de una asociación

**a) ¿Cuántos han sido los socios fundadores? Transcurridos 7 años, ¿cuántos socios habrá? ¿Se disolverá la sociedad en ese momento? (hasta 1 punto).** Los socios fundadores corresponden al momento inicial, es decir, cuando el tiempo transcurrido es $x = 0$. Sustituimos en la función $N(x) = x^3 - 9x^2 + 24x + 64$: $$N(0) = 0^3 - 9(0)^2 + 24(0) + 64 = 64$$ Ahora calculamos el número de socios tras 7 años ($x = 7$): $$N(7) = 7^3 - 9(7)^2 + 24(7) + 64$$ $$N(7) = 343 - 9(49) + 168 + 64$$ $$N(7) = 343 - 441 + 168 + 64 = 134$$ 💡 **Tip:** El valor de una función en $x=0$ siempre es el término independiente en un polinomio. ✅ **Socios fundadores: 64 socios. Socios a los 7 años: 134 socios.**

Para saber si se disolverá la sociedad a los 7 años, comprobamos si el número de socios supera el límite de 100 establecido en los estatutos. Como $N(7) = 134$ y $134 \gt 100$, se cumple la condición de disolución. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A los 7 años hay 134 socios, por lo que la sociedad debe disolverse.}}$$

**b) Estudiar el comportamiento (crecimiento, decrecimiento) del número de socios en el intervalo [0, 7] ¿cuál será el número mínimo de socios y cuándo se alcanzará? (hasta 2 puntos).** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento (monotonía), calculamos la primera derivada de $N(x)$: $$N'(x) = 3x^2 - 18x + 24$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$3x^2 - 18x + 24 = 0$$ Dividimos toda la ecuación por 3 para simplificar: $$x^2 - 6x + 8 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(8)}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}$$ Obtenemos dos valores: $$x_1 = \frac{8}{2} = 4 \quad ; \quad x_2 = \frac{4}{2} = 2$$ 💡 **Tip:** Los puntos donde la derivada es cero son los candidatos a máximos y mínimos relativos.

Dividimos el intervalo $[0, 7]$ usando los puntos críticos hallados ($x=2$ y $x=4$): $$\begin{array}{c|ccccc} x & (0, 2) & 2 & (2, 4) & 4 & (4, 7) \\\hline N'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\\hline N(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ **Justificación del signo:** - Para $x=1 \in (0, 2) \implies N'(1) = 3(1)^2 - 18(1) + 24 = 9 \gt 0$ (**Creciente**). - Para $x=3 \in (2, 4) \implies N'(3) = 3(3)^2 - 18(3) + 24 = 27 - 54 + 24 = -3 \lt 0$ (**Decreciente**). - Para $x=5 \in (4, 7) \implies N'(5) = 3(5)^2 - 18(5) + 24 = 75 - 90 + 24 = 9 \gt 0$ (**Creciente**). ✅ **Creciente en $(0, 2) \cup (4, 7)$ y decreciente en $(2, 4)$.**

Para hallar el número mínimo de socios en el intervalo cerrado $[0, 7]$, evaluamos la función en los extremos del intervalo y en el mínimo relativo ($x=4$): 1. En $x=0$: $N(0) = 64$ socios. 2. En $x=4$: $N(4) = 4^3 - 9(4^2) + 24(4) + 64 = 64 - 144 + 96 + 64 = 80$ socios. 3. En $x=7$: $N(7) = 134$ socios. Comparamos los valores: el valor más bajo es 64. 💡 **Tip:** En un intervalo cerrado, el mínimo absoluto puede estar en un extremo o en un punto donde la derivada es cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El número mínimo es de 64 socios y se alcanza en el momento de la fundación (x = 0).}}$$