Probabilidad: Socios y práctica de spinning

**a) Calcular la probabilidad de que practique “spinning”.** Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $H$: El socio es hombre. - $M$: El socio es mujer. - $S$: El socio practica spinning. - $\bar{S}$: El socio no practica spinning. A partir del enunciado, extraemos los datos de probabilidad: - $P(H) = 0.52$ (por tanto, $P(M) = 1 - 0.52 = 0.48$). - Probabilidad de spinning dado que es hombre: $P(S|H) = 0.35$. - Probabilidad de spinning dado que es mujer: $P(S|M) = 0.60$. Representamos la situación en un árbol de probabilidad para visualizar mejor todos los caminos posibles:

Para calcular la probabilidad de que un socio practique spinning, $P(S)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Este teorema nos dice que la probabilidad de un suceso se obtiene sumando las probabilidades de todas las formas posibles en que puede ocurrir: $$P(S) = P(H) \cdot P(S|H) + P(M) \cdot P(S|M)$$ Sustituimos con los valores del enunciado: $$P(S) = (0.52 \cdot 0.35) + (0.48 \cdot 0.60)$$ $$P(S) = 0.182 + 0.288$$ $$P(S) = 0.47$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser 1 (por ejemplo, $0.35 + 0.65 = 1$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S) = 0.47}$$ La probabilidad de que un socio elegido al azar practique spinning es del **47 %**.

**b) Si el socio elegido no practica “spinning”, obtener la probabilidad de que sea una mujer.** En este apartado nos piden una probabilidad condicionada. Sabemos que el socio **no practica spinning** ($\bar{S}$), y queremos hallar la probabilidad de que sea **mujer** ($M$). Buscamos $P(M|\bar{S})$. Para resolverlo, utilizaremos la fórmula de la probabilidad condicionada (o Teorema de Bayes): $$P(M|\bar{S}) = \frac{P(M \cap \bar{S})}{P(\bar{S})}$$ Calculamos primero el denominador $P(\bar{S})$. Como ya conocemos $P(S) = 0.47$, podemos usar el suceso contrario: $$P(\bar{S}) = 1 - P(S) = 1 - 0.47 = 0.53$$ Ahora calculamos el numerador $P(M \cap \bar{S})$ usando los datos del árbol: $$P(M \cap \bar{S}) = P(M) \cdot P(\bar{S}|M) = 0.48 \cdot 0.40 = 0.192$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona una causa (ser mujer) con un efecto observado (no hacer spinning).

Sustituimos los valores obtenidos en la fórmula: $$P(M|\bar{S}) = \frac{0.192}{0.53}$$ Realizamos la división: $$P(M|\bar{S}) \approx 0.3623$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M|\bar{S}) = \frac{192}{530} \approx 0.3623}$$ Si el socio no practica spinning, la probabilidad de que sea mujer es aproximadamente del **36.23 %**.