Distribución normal y media muestral

**a) ¿Qué porcentaje de la población de adultos con sobrepeso son “individuos con riesgo de desarrollar la enfermedad coronaria A”?** Primero definimos la variable aleatoria $X$ que representa el peso de un adulto con sobrepeso: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(120, 20)$$ Nos piden calcular el porcentaje de individuos con un peso superior a $150 \text{ kg}$, es decir, $P(X \gt 150)$. Para ello, debemos tipificar la variable utilizando la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$: $$P(X \gt 150) = P\left(Z \gt \frac{150 - 120}{20}\right) = P\left(Z \gt \frac{30}{20}\right) = P(Z \gt 1.5)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para poder usar las tablas de la normal estándar $N(0,1)$, siempre debemos realizar el proceso de tipificación restando la media y dividiendo por la desviación típica.

Como las tablas de la normal suelen darnos la probabilidad acumulada a la izquierda ($P(Z \le z)$), transformamos la expresión: $$P(Z \gt 1.5) = 1 - P(Z \le 1.5)$$ Buscando en la tabla de la normal $N(0,1)$ el valor de $z = 1.5$, obtenemos $0.9332$: $$P(X \gt 150) = 1 - 0.9332 = 0.0668$$ Para obtener el porcentaje, multiplicamos por 100: $$0.0668 \cdot 100 = 6.68\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{6.68\%}$$

**b) Si se elige aleatoriamente una muestra de 20 adultos con sobrepeso, calcular la probabilidad de que la media del peso de la muestra esté entre $110 \text{ kg}$ y $125 \text{ kg}$.** Cuando trabajamos con una muestra de tamaño $n = 20$, la media muestral $\bar{X}$ sigue una distribución normal con la misma media que la población original pero con una desviación típica menor (error estándar): $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = N\left(120, \frac{20}{\sqrt{20}}\right)$$ Calculamos la nueva desviación típica: $$\sigma_{\bar{X}} = \frac{20}{\sqrt{20}} = \sqrt{20} \approx 4.4721$$ 💡 **Tip:** No confundas la desviación típica de la población ($\sigma$) con la de la media de una muestra ($\sigma / \sqrt{n}$). Esta última siempre es más pequeña a medida que aumenta el tamaño de la muestra.

Queremos calcular $P(110 \le \bar{X} \le 125)$. Tipificamos ambos valores usando $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{X}}}$: $$P\left(\frac{110 - 120}{4.4721} \le Z \le \frac{125 - 120}{4.4721}\right)$$ $$P(-2.236 \le Z \le 1.118)$$ Redondeando a dos decimales para usar la tabla: $$P(-2.24 \le Z \le 1.12)$$ Esta probabilidad se calcula como: $$P(Z \le 1.12) - P(Z \le -2.24)$$ 💡 **Tip:** Para valores negativos, usamos la propiedad de simetría de la normal: $P(Z \le -z) = 1 - P(Z \le z)$.

Aplicamos las propiedades y buscamos los valores en la tabla: - $P(Z \le 1.12) = 0.8686$ - $P(Z \le -2.24) = 1 - P(Z \le 2.24) = 1 - 0.9875 = 0.0125$ Sustituyendo: $$P(-2.24 \le Z \le 1.12) = 0.8686 - 0.0125 = 0.8561$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{0.8561}$$