Cálculo de un parámetro a partir de la derivada

Para resolver el ejercicio, el primer paso es obtener la expresión de la derivada de la función $f(x)$. La función dada es: $$f(x) = ax - 33 + \frac{5}{x}$$ Podemos reescribir el término racional como una potencia para que sea más fácil de derivar: $\frac{5}{x} = 5x^{-1}$. Así, la función queda: $$f(x) = ax - 33 + 5x^{-1}$$ Derivamos término a término aplicando las reglas básicas: - La derivada de $ax$ es $a$. - La derivada de la constante $-33$ es $0$. - La derivada de $5x^{-1}$ es $5 \cdot (-1)x^{-2} = -\frac{5}{x^2}$. Por lo tanto, la función derivada es: $$f'(x) = a - \frac{5}{x^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una constante es siempre cero y que para derivar una fracción del tipo $\frac{k}{x}$ puedes usar la regla de la potencia: $(x^n)' = nx^{n-1}$ o directamente recordar que $\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$. $$\boxed{f'(x) = a - \frac{5}{x^2}}$$

El enunciado nos indica que se debe cumplir la condición $f'(1) = 2$. Esto significa que al evaluar la derivada en $x = 1$, el resultado debe ser igual a $2$. Sustituimos $x = 1$ en nuestra expresión de $f'(x)$: $$f'(1) = a - \frac{5}{1^2} = a - 5$$ Ahora, igualamos este resultado al valor indicado en el enunciado: $$a - 5 = 2$$ Resolvemos la ecuación sencilla despejando $a$: $$a = 2 + 5$$ $$a = 7$$ 💡 **Tip:** El valor $f'(1)$ representa geométricamente la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x = 1$. En este caso, buscamos el valor de $a$ para que dicha pendiente sea exactamente $2$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 7}$$