Probabilidad en una distribución normal de notas

**C3. (Estadística y probabilidad) La nota media de los alumnos de segundo de bachillerato de cierto instituto sigue una distribución normal de media 6.8 y desviación típica de 1.1. Calcular la probabilidad de que un alumno haya obtenido más de un 9.** En primer lugar, definimos la variable aleatoria $X$ que describe el fenómeno del estudio: $X =$ "Nota media de un alumno de segundo de bachillerato". El enunciado nos indica que esta variable sigue una distribución normal, que denotamos como $X \sim N(\mu, \sigma)$. Identificamos los parámetros: - Media: $\mu = 6.8$ - Desviación típica: $\sigma = 1.1$ Por tanto, $X \sim N(6.8, 1.1)$. El objetivo es calcular la probabilidad de que un alumno obtenga una nota superior a 9, es decir: **$P(X \gt 9)$**.

Para calcular probabilidades en una distribución normal cualquiera, debemos transformar nuestra variable $X$ en una variable $Z$ que siga una distribución normal estándar $N(0, 1)$. Este proceso se llama **tipificación**. La fórmula de tipificación es: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ Aplicamos la fórmula a nuestro valor de interés ($x = 9$): $$P(X \gt 9) = P\left( Z \gt \frac{9 - 6.8}{1.1} \right)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que tipificar nos permite utilizar la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$, que es la que se proporciona en los exámenes de EBAU.

Realizamos las operaciones aritméticas paso a paso: 1. Restamos la media: $9 - 6.8 = 2.2$ 2. Dividimos entre la desviación típica: $\frac{2.2}{1.1} = 2$ Así pues, la probabilidad buscada es equivalente a: $$P(Z \gt 2)$$ Como la tabla de la normal estándar suele darnos la probabilidad acumulada a la izquierda ($P(Z \le z)$), aplicamos la propiedad del suceso contrario: $$P(Z \gt 2) = 1 - P(Z \le 2)$$ 💡 **Tip:** Siempre que busques una probabilidad del tipo "mayor que", debes restarle a 1 la probabilidad de "menor o igual" para poder usar la tabla.

Buscamos el valor $z = 2.00$ en la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$: $$P(Z \le 2.00) = 0.9772$$ Sustituimos este valor en nuestra expresión anterior: $$P(X \gt 9) = 1 - 0.9772 = 0.0228$$ Esto significa que hay una probabilidad del **2.28%** de que un alumno obtenga más de un 9. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(X \gt 9) = 0.0228}$$