Sistema de ecuaciones: Precio de modelos de mesas

**a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuánto cuesta cada modelo de mesa. (1 punto)** En primer lugar, definimos las variables que representan lo que queremos calcular: - $x$: Precio de una mesa de gama baja (€). - $y$: Precio de una mesa de gama media (€). - $z$: Precio de una mesa de gama superior (€). Ahora, traducimos el enunciado a lenguaje algebraico: 1. "El precio de la mesa de gama superior es el mismo que de las otras dos juntas": $$z = x + y$$ 2. "Vendiendo 50 mesas de gama media se obtiene el mismo dinero que con 30 de la superior": $$50y = 30z$$ 3. "Por la venta de 5 mesas de gama baja, 5 de media y 10 de gama superior se obtienen 7500 euros": $$5x + 5y + 10z = 7500$$ 💡 **Tip:** Para facilitar los cálculos posteriores, podemos simplificar la segunda ecuación dividiendo entre 10 ($5y = 3z$) y la tercera dividiendo entre 5 ($x + y + 2z = 1500$). El sistema de ecuaciones queda de la siguiente forma: $$\boxed{\begin{cases} x + y - z = 0 \\ 5y - 3z = 0 \\ x + y + 2z = 1500 \end{cases}}$$

**b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos)** Vamos a resolver el sistema utilizando el método de sustitución, ya que la primera ecuación nos da una relación directa entre las variables. Partimos del sistema simplificado: 1. $x + y = z$ 2. $5y = 3z$ 3. $x + y + 2z = 1500$ Sustituimos la expresión de la primera ecuación ($x + y = z$) directamente en la tercera: $$(x + y) + 2z = 1500 \implies z + 2z = 1500$$ $$3z = 1500 \implies z = \frac{1500}{3} = 500$$ Ahora que conocemos $z$, usamos la segunda ecuación para hallar $y$: $$5y = 3(500) \implies 5y = 1500$$ $$y = \frac{1500}{5} = 300$$ Finalmente, sustituimos los valores de $y$ y $z$ en la primera ecuación para hallar $x$: $$x + 300 = 500 \implies x = 500 - 300 = 200$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar que los resultados obtenidos cumplen todas las ecuaciones del sistema original para asegurar que no hay errores de cálculo. Los precios de los modelos de mesa son: - Gama baja ($x$): **200 €** - Gama media ($y$): **300 €** - Gama superior ($z$): **500 €** ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 200, \; y = 300, \; z = 500}$$