Programación lineal: Cultivo de aguacates y mangos

**a) Expresa la función objetivo. (0.25 puntos)** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema, que representan las hectáreas destinadas a cada cultivo: - $x$: número de hectáreas destinadas a la siembra de **aguacates**. - $y$: número de hectáreas destinadas a la siembra de **mangos**. La función objetivo representa el beneficio total que se quiere maximizar. Según el enunciado, se obtienen $10000$ € por hectárea de aguacates y $12000$ € por hectárea de mangos. Por tanto, la función es: $$B(x, y) = 10000x + 12000y$$ 💡 **Tip:** Las variables deben ser siempre mayores o iguales a cero en este tipo de problemas de contextos reales ($x \ge 0$, $y \ge 0$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{B(x, y) = 10000x + 12000y}$$

**b) Escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido. (1 punto)** Traducimos las condiciones del enunciado a inecuaciones lineales: 1. **Superficie total disponible:** No se pueden sembrar más de $18$ hectáreas en total. $$x + y \le 18$$ 2. **Limitación de aguacates:** Como mucho se destinan $16$ hectáreas a aguacates. $$x \le 16$$ 3. **Relación entre cultivos:** La superficie de mangos ($y$) no puede ser mayor que la de aguacates ($x$). $$y \le x$$ 4. **Condiciones de no negatividad:** Las hectáreas no pueden ser negativas. $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ El sistema de restricciones queda definido como: $$\begin{cases} x + y \le 18 \\ x \le 16 \\ y \le x \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Para representar las rectas, es útil hallar sus puntos de corte con los ejes. Por ejemplo, para $x + y = 18$, los puntos son $(18,0)$ y $(0,18)$.

Para representar el recinto, dibujamos las rectas asociadas a las inecuaciones y sombreamos la región común (región factible): - Recta $r_1: x + y = 18$ (pasa por $(0,18)$ y $(18,0)$). - Recta $r_2: x = 16$ (recta vertical). - Recta $r_3: y = x$ (bisectriz del primer cuadrante). El recinto es un cuadrilátero cuyos vértices calcularemos en el siguiente paso.

Los vértices del recinto se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que se cortan: 1. **Vértice A (Origen):** Intersección de $x=0$ e $y=0$. $$\mathbf{A(0, 0)}$$ 2. **Vértice B:** Intersección de $x=16$ con el eje $X$ ($y=0$). $$\mathbf{B(16, 0)}$$ 3. **Vértice C:** Intersección de $x+y=18$ y $x=16$. $$16 + y = 18 \implies y = 2 \implies \mathbf{C(16, 2)}$$ 4. **Vértice D:** Intersección de $x+y=18$ y $y=x$. $$x + x = 18 \implies 2x = 18 \implies x = 9, y = 9 \implies \mathbf{D(9, 9)}$$ 💡 **Tip:** El punto $(0,0)$ siempre suele ser un vértice en problemas donde se parten de recursos nulos, aunque rara vez sea la solución óptima si buscamos maximizar beneficios.

**c) Determina cuántas hectáreas de cada tipo se debe dedicar a cada producto para conseguir máximo beneficio. (0.25 puntos)** Evaluamos la función objetivo $B(x, y) = 10000x + 12000y$ en cada uno de los vértices hallados para encontrar el valor máximo: $$\begin{array}{l|l} \text{Vértice} & B(x, y) = 10000x + 12000y \\\hline A(0,0) & B(0,0) = 0 \text{ €} \\ B(16,0) & B(16,0) = 10000(16) + 12000(0) = 160000 \text{ €} \\ C(16,2) & B(16,2) = 10000(16) + 12000(2) = 160000 + 24000 = 184000 \text{ €} \\ D(9,9) & B(9,9) = 10000(9) + 12000(9) = 90000 + 108000 = 198000 \text{ €} \\ \end{array}$$ El beneficio máximo es de $198000$ € y se alcanza en el punto $D(9, 9)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se deben dedicar 9 hectáreas de aguacates y 9 hectáreas de mangos.}}$$