Continuidad y extremos de una función a trozos

**a) ¿Para qué valor de $t$ la función $f(x)$ es continua en $x = 1$? (0.5 puntos)** Para que una función sea continua en un punto $x = a$, se deben cumplir tres condiciones: 1. Que exista el valor de la función en el punto: $f(a)$. 2. Que existan los límites laterales y sean iguales (que exista el límite global). 3. Que el valor del límite coincida con el valor de la función: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Evaluamos en $x = 1$: - Valor de la función: $f(1) = 3$. - Límite por la izquierda ($x \lt 1$): $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1} (x + 3 + t) = 1 + 3 + t = 4 + t.$$ - Límite por la derecha ($x \gt 1$): $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1} ((x - 3)^2 + t) = (1 - 3)^2 + t = (-2)^2 + t = 4 + t.$$ Para que sea continua, los límites laterales deben ser iguales al valor de la función: $$4 + t = 3 \implies t = 3 - 4 \implies t = -1.$$ 💡 **Tip:** No hables de "unir" las ramas, sino de que no haya salto en el punto de cambio de definición. Para ello, los límites por ambos lados deben coincidir con el valor definido en ese punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = -1}$$

**b) Para $t = 0$, calcula los extremos relativos de la función $f(x)$ en el intervalo $(1, +\infty)$. (0.5 puntos)** Si $t = 0$, en el intervalo $(1, +\infty)$, la función es: $$f(x) = (x - 3)^2.$$ Para hallar los extremos relativos, calculamos la primera derivada e igualamos a cero: $$f'(x) = 2(x - 3) \cdot 1 = 2x - 6.$$ $$f'(x) = 0 \implies 2x - 6 = 0 \implies 2x = 6 \implies x = 3.$$ Como $x = 3$ pertenece al intervalo $(1, +\infty)$, es un posible extremo. Comprobamos si es máximo o mínimo usando la segunda derivada: $$f''(x) = 2.$$ Como $f''(3) = 2 \gt 0$, existe un **mínimo relativo** en $x = 3$. Calculamos la ordenada del punto: $$f(3) = (3 - 3)^2 = 0.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si $f''(x) \gt 0$ el punto es un mínimo y si $f''(x) \lt 0$ es un máximo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (3, 0)}$$

**c) Para $t = 0$, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ en $(1, +\infty)$. (0.5 puntos)** Estudiamos el signo de la primera derivada $f'(x) = 2x - 6$ en el intervalo solicitado $(1, +\infty)$, teniendo en cuenta el punto crítico $x = 3$. Dividimos el intervalo $(1, +\infty)$ en dos subintervalos: $$\begin{array}{c|ccc} x & (1, 3) & 3 & (3, +\infty)\\ \hline f'(x) = 2x - 6 & - & 0 & +\\ \hline f(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - En $(1, 3)$: Si tomamos $x = 2$, $f'(2) = 2(2) - 6 = -2 \lt 0$, por lo que la función es **decreciente**. - En $(3, +\infty)$: Si tomamos $x = 4$, $f'(4) = 2(4) - 6 = 2 \gt 0$, por lo que la función es **creciente**. 💡 **Tip:** El crecimiento se asocia con $f'(x) \gt 0$ y el decrecimiento con $f'(x) \lt 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Decreciente en } (1, 3) \text{ y Creciente en } (3, +\infty)}$$