Inferencia estadística: Intervalo de confianza para la media

**a) Calcula el intervalo de confianza del 95 % para el consumo medio por persona y semana de azúcar. (1 punto)** Primero, extraemos los datos del enunciado: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 60$ g. - Tamaño de la muestra: $n = 50$. - Media muestral: $\bar{x} = 200$ g. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$. Para calcular el intervalo de confianza, necesitamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2}$. Como $1 - \alpha = 0.95$, entonces $\alpha = 0.05$ y $\frac{\alpha}{2} = 0.025$. Buscamos $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.9750$. Mirando la tabla proporcionada, en la fila $1.9$ y columna $0.06$, encontramos el valor $0.9750$. Por tanto: $$z_{\alpha/2} = 1.96$$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza para la media poblacional viene dado por: $IC = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$, donde $E$ es el error máximo admisible.

Calculamos el error máximo admisible $E$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 1.96 \cdot \frac{60}{\sqrt{50}} = 1.96 \cdot \frac{60}{7.071} \approx 1.96 \cdot 8.485 = 16.63$$ Ahora formamos el intervalo $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: - Límite inferior: $200 - 16.63 = 183.37$ - Límite superior: $200 + 16.63 = 216.63$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC_{95\%} = (183.37, 216.63)}$$

**b) Razona cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza. (0.5 puntos)** La amplitud del intervalo es el doble del error: $A = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Para disminuir la amplitud (hacer el intervalo más preciso), tenemos dos opciones: 1. **Aumentar el tamaño de la muestra ($n$):** Como $n$ está en el denominador de la fórmula del error, al aumentar el número de personas encuestadas, el error disminuye y, por tanto, la amplitud es menor. 2. **Disminuir el nivel de confianza ($1-\alpha$):** Si bajamos la confianza (por ejemplo, al 90 %), el valor crítico $z_{\alpha/2}$ será menor, lo que reduce el error y la amplitud. 💡 **Tip:** En la práctica, lo ideal es aumentar el tamaño de la muestra para no perder seguridad (confianza) en nuestra estimación.

**c) ¿Crees que la media poblacional $\mu$ de consumo por persona y semana de azúcar es 220 gramos con una probabilidad del 90 %? Razona tu respuesta. (0.5 puntos)** La respuesta es **no**, por dos razones fundamentales: 1. **Razonamiento estadístico:** La media poblacional $\mu$ es un parámetro fijo, no una variable aleatoria. No tiene sentido decir que un valor concreto tiene una "probabilidad" de ser la media. Lo que tiene una probabilidad asociada es el **intervalo**: el 90 % de los intervalos calculados con este método contendrán a la verdadera media. 2. **Razonamiento sobre los datos:** En el apartado (a) hemos visto que el intervalo al 95 % de confianza es $(183.37, 216.63)$. El valor $220$ gramos queda **fuera** de este intervalo. Si un valor no está dentro del intervalo al 95 %, es todavía menos probable que sea aceptable con niveles de confianza estándar. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{No. } \mu \text{ es un valor fijo y } 220 \text{ no pertenece al intervalo calculado.}}$$