Inserción laboral de titulados

**a) Calcula la proporción de alumnos que han encontrado trabajo el primer año. (0.25 puntos)** Primero, organizamos la información del enunciado: - Total de alumnos ($N$): $100$ - Alumnos que **no** han encontrado trabajo: $6$ Para calcular cuántos **sí** han encontrado trabajo, restamos del total aquellos que no lo han hecho: $$\text{Alumnos con trabajo} = 100 - 6 = 94$$ La proporción (o probabilidad simple) se calcula como el cociente entre los casos favorables y los casos totales: $$P(\text{Trabajo}) = \frac{94}{100} = 0.94$$ 💡 **Tip:** La proporción es equivalente a la probabilidad de que un alumno elegido al azar haya encontrado trabajo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{0.94}$$

Para los apartados b) y c), donde extraemos tres alumnos sin repetición, es útil visualizar las probabilidades de no encontrar trabajo ($T^c$) en cada extracción. Este esquema muestra la rama donde ningún alumno encuentra trabajo. Al ser **sin repetición**, el número de alumnos totales y el de alumnos sin trabajo disminuyen en cada paso.

**b) Calcula la probabilidad de que si elegimos tres alumnos sin repetición, ninguno haya encontrado trabajo el primer año. (0.5 puntos)** Queremos calcular la probabilidad de que el primero no trabaje ($T^c_1$), el segundo no trabaje ($T^c_2$) y el tercero tampoco ($T^c_3$). Como el muestreo es sin repetición, los sucesos son dependientes. Aplicamos la regla de la multiplicación: $$P(T^c_1 \cap T^c_2 \cap T^c_3) = P(T^c_1) \cdot P(T^c_2 | T^c_1) \cdot P(T^c_3 | T^c_1 \cap T^c_2)$$ Sustituimos los valores: - Primera extracción: $6$ sin trabajo de $100$ totales $\rightarrow \frac{6}{100}$ - Segunda extracción: quedan $5$ sin trabajo de $99$ totales $\rightarrow \frac{5}{99}$ - Tercera extracción: quedan $4$ sin trabajo de $98$ totales $\rightarrow \frac{4}{98}$ Operamos: $$P = \frac{6}{100} \cdot \frac{5}{99} \cdot \frac{4}{98} = \frac{120}{970200}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 120: $$P = \frac{1}{8085} \approx 0.0001237$$ 💡 **Tip:** En probabilidad sin reemplazo, recuerda siempre restar una unidad tanto al numerador como al denominador tras cada extracción exitosa del suceso deseado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\frac{1}{8085} \approx 0.0001237}$$

**c) Si elegimos tres alumnos al azar sin repetición y el primero no ha encontrado trabajo el primer año, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo y el tercero tampoco hayan encontrado trabajo el primer año? (0.75 puntos)** En este apartado nos dan una **condición**: ya sabemos que el primer alumno no ha encontrado trabajo. Nos piden la probabilidad de que ocurra lo mismo con el segundo y el tercero. Esto se simboliza como $P(T^c_2 \cap T^c_3 | T^c_1)$. Tras el primer alumno (que no tiene trabajo), la composición del grupo cambia: - Quedan $100 - 1 = 99$ alumnos en total. - Quedan $6 - 1 = 5$ alumnos que no han encontrado trabajo. Calculamos la probabilidad de que los dos siguientes no tengan trabajo bajo estas nuevas condiciones: $$P(T^c_2 | T^c_1) \cdot P(T^c_3 | T^c_1 \cap T^c_2) = \frac{5}{99} \cdot \frac{4}{98}$$ Operamos: $$P = \frac{20}{9702} = \frac{10}{4851} \approx 0.00206$$ 💡 **Tip:** Cuando nos dicen 'sabemos que el primero...', ese suceso ya ha ocurrido, por lo que empezamos el cálculo desde la situación resultante de ese primer evento. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\frac{10}{4851} \approx 0.00206}$$