Continuidad y representación de una función a trozos

**a) Halla el valor de $t$ para que $f$ sea continua en $x = 0$. (0.5 puntos)** Para que una función sea continua en un punto $x = a$, deben cumplirse tres condiciones: 1. Que exista la función en el punto: $f(a)$ 2. Que existan los límites laterales y sean iguales (que exista el límite global): $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$ 3. Que el valor del límite coincida con el valor de la función: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ En nuestro caso, para $x = 0$: - El valor de la función es: $f(0) = t$ 💡 **Tip:** Recuerda que para funciones a trozos, la continuidad se estudia analizando si las "ramas" se encuentran en el mismo valor en el punto de salto.

Calculamos el límite por la izquierda (usando la rama para $x \lt 0$): $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x + 2)^2 = (0 + 2)^2 = 2^2 = 4$$ Calculamos el límite por la derecha (usando la rama para $x \gt 0$): $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x - 2)^2 = (0 - 2)^2 = (-2)^2 = 4$$ Como ambos límites laterales son iguales a $4$, el límite global existe y vale: $$\lim_{x \to 0} f(x) = 4$$

Para que la función sea continua, el valor de la función en el punto debe ser igual al valor del límite: $$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$$ $$t = 4$$ Si $t=4$, los límites laterales y el valor de la función coinciden, por lo que no hay salto entre las ramas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = 4}$$

**b) Para $t = 2$, representa gráficamente la función $f(x)$. (1 punto)** Sustituimos $t = 2$ en la expresión original: $$f(x)=\begin{cases} (x + 2)^2 & \text{si } x \lt 0,\\ 2 & \text{si } x = 0,\\ (x - 2)^2 & \text{si } x \gt 0. \end{cases}$$ Observamos que la función tiene tres partes: 1. Una parábola $(x+2)^2$ para valores negativos. Su vértice está en $(-2, 0)$ y pasaría por $(0, 4)$ si estuviera definida ahí. 2. Un punto aislado en $(0, 2)$. 3. Una parábola $(x-2)^2$ para valores positivos. Su vértice está en $(2, 0)$ y empezaría (punto abierto) en $(0, 4)$.

Analizamos los elementos clave para dibujar las parábolas: - **Rama 1 ($x \lt 0$):** $y = (x+2)^2$. Es una parábola con curvatura hacia arriba ($x^2$ positivo). El vértice se halla igualando el paréntesis a cero: $x+2=0 \implies x=-2$. El punto es $(-2, 0)$. - **Rama 2 ($x \gt 0$):** $y = (x-2)^2$. Es una parábola similar desplazada a la derecha. El vértice es $(2, 0)$. Como en el apartado anterior vimos que los límites laterales en $x=0$ son $4$, ambas parábolas tienden al punto $(0, 4)$, pero no lo alcanzan porque en $x=0$ la función vale $2$. 💡 **Tip:** Al representar funciones a trozos con discontinuidades evitables o de punto desplazado, usa un círculo vacío $\circ$ para los límites que no se alcanzan y un punto relleno $\bullet$ para el valor real de la función.

Combinando toda la información, la gráfica consiste en dos trozos de parábola simétricos respecto al eje $Y$ con un "hueco" en el punto $(0, 4)$ y un punto real situado en $(0, 2)$. En la gráfica interactiva podemos observar cómo las dos ramas convergen hacia el valor $4$ pero el punto en el eje de ordenadas está en $y=2$.