Estudio de ventas de pizza mediante una función cuadrática

**a) ¿Cuántas porciones han vendido durante los dos primeras semanas? (0.5 puntos)** Para calcular las ventas totales en las dos primeras semanas, debemos evaluar la función en $t = 1$ (primera semana) y en $t = 2$ (segunda semana), y luego sumar ambos resultados. 1. Calculamos las ventas de la **semana 1** ($t = 1$): $$P(1) = -40(1)^2 + 240(1) + 540 = -40 + 240 + 540 = 740 \text{ porciones}$$ 2. Calculamos las ventas de la **semana 2** ($t = 2$): $$P(2) = -40(2)^2 + 240(2) + 540 = -40(4) + 480 + 540 = -160 + 480 + 540 = 860 \text{ porciones}$$ Sumamos ambas cantidades: $$Ventas\,totales = P(1) + P(2) = 740 + 860 = 1600$$ 💡 **Tip:** Ten cuidado al elevar al cuadrado antes de multiplicar por el coeficiente negativo: $-40(2^2) = -40(4) = -160$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{1600 \text{ porciones}}$$

**b) ¿Durante qué semana se vendieron más porciones y cuántas fueron? (0.75 puntos)** Para encontrar el máximo de la función $P(t) = -40t^2 + 240t + 540$, buscamos los puntos críticos igualando la primera derivada a cero. Calculamos la derivada $P'(t)$: $$P'(t) = -80t + 240$$ Igualamos a cero para hallar el valor de $t$: $$-80t + 240 = 0 \implies 80t = 240 \implies t = \frac{240}{80} = 3$$ Como la función es una parábola con el coeficiente principal negativo ($-40 \lt 0$), sabemos que este punto es un **máximo**. Calculamos cuántas porciones corresponden a la semana $t = 3$: $$P(3) = -40(3)^2 + 240(3) + 540 = -40(9) + 720 + 540 = -360 + 720 + 540 = 900$$ Estudiamos el signo de la derivada para confirmar la monotonía: $$\begin{array}{c|ccc} t & (1,3) & 3 & (3,4)\\ \hline P'(t) & + & 0 & -\\ \hline P(t) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** El máximo de una función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ siempre está en su vértice, cuya abscisa es $x = -b/(2a)$. En este caso: $t = -240/(2 \cdot -40) = 3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Semana 3 con } 900 \text{ porciones}}$$

**c) ¿Qué semana vendieron menos? ¿Cuántas porciones? (0.75 puntos)** Dado que el dominio está restringido al intervalo $[1, 4]$ y sabemos que la función crece hasta $t = 3$ y luego decrece, los valores mínimos deben estar en los extremos del intervalo: $t = 1$ o $t = 4$. Ya calculamos anteriormente: - Para $t = 1$: $P(1) = 740$ porciones. Calculamos el valor para $t = 4$: $$P(4) = -40(4)^2 + 240(4) + 540 = -40(16) + 960 + 540 = -640 + 960 + 540 = 860 \text{ porciones}$$ Comparamos los valores: $$740 \lt 860$$ Por tanto, el número mínimo de ventas se produjo en la primera semana. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Semana 1 con } 740 \text{ porciones}}$$