Operaciones con matrices, inversa y dimensiones

**a) Calcula $A \cdot C + D^T$. (0.5 puntos)** Primero realizamos el producto de la matriz $A$ (dimensión $2 \times 2$) por la matriz $C$ (dimensión $2 \times 1$). El resultado será una matriz de dimensión $2 \times 1$. Multiplicamos filas por columnas: $$A \cdot C = \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ -1/2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2/3 \\ 1/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right) + (-6) \cdot \left(\frac{1}{3}\right) \\ -\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{2}{3}\right) + 3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right) \end{pmatrix}$$ Operamos cada elemento: - Elemento $a_{11}$: $3 \cdot \frac{2}{3} - 6 \cdot \frac{1}{3} = 2 - 2 = 0$ - Elemento $a_{21}$: $-\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} + 3 \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$ Por tanto: $$A \cdot C = \begin{pmatrix} 0 \\ 2/3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda.

Ahora calculamos la matriz traspuesta de $D$, denotada como $D^T$. Como $D$ es una matriz fila de $1 \times 2$, su traspuesta será una matriz columna de $2 \times 1$: $$D = \begin{pmatrix} -6 & 3 \end{pmatrix} \implies D^T = \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \end{pmatrix}$$ Finalmente, sumamos ambos resultados: $$A \cdot C + D^T = \begin{pmatrix} 0 \\ 2/3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 + (-6) \\ 2/3 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 11/3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{A \cdot C + D^T = \begin{pmatrix} -6 \\ 11/3 \end{pmatrix}}$$

**b) Razona si $A$ y $B$ tienen matriz inversa (no es necesario calcularlas). (0.5 puntos)** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|M| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 3 & -6 \\ -1/2 & 3 \end{vmatrix} = (3 \cdot 3) - (-6) \cdot (-1/2) = 9 - 3 = 6$$ Como $|A| = 6 \neq 0$, la matriz **$A$ tiene inversa**. Calculamos el determinante de $B$: $$|B| = \begin{vmatrix} 1 & -4 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} = (1 \cdot 4) - (-4) \cdot (-1) = 4 - 4 = 0$$ Como $|B| = 0$, la matriz **$B$ no tiene inversa**. 💡 **Tip:** Una matriz cuyo determinante es cero se denomina matriz singular y no es invertible. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\text{A tiene inversa porque } |A| \neq 0. \text{ B no tiene inversa porque } |B| = 0.}$$

**c) ¿Qué dimensiones tienen las matrices resultantes de los producto $D \cdot C$ y $D^T \cdot C^T$? (no es necesario hacer las multiplicaciones). (0.5 puntos)** Analizamos las dimensiones de cada matriz: - $D$ tiene dimensión $1 \times 2$ (1 fila, 2 columnas). - $C$ tiene dimensión $2 \times 1$ (2 filas, 1 columna). - $D^T$ tiene dimensión $2 \times 1$. - $C^T$ tiene dimensión $1 \times 2$. Para el producto **$D \cdot C$**: $$(1 \times 2) \cdot (2 \times 1) \implies \text{Dimensión } 1 \times 1$$ Para el producto **$D^T \cdot C^T$**: $$(2 \times 1) \cdot (1 \times 2) \implies \text{Dimensión } 2 \times 2$$ 💡 **Tip:** Si multiplicamos una matriz de dimensión $m \times n$ por otra de $n \times p$, la matriz resultante siempre tendrá dimensión $m \times p$. ✅ **Resultado del apartado c):** $$\boxed{D \cdot C \in \mathcal{M}_{1 \times 1} \quad \text{y} \quad D^T \cdot C^T \in \mathcal{M}_{2 \times 2}}$$