Sistema de ecuaciones: Problema del concesionario de motos

**a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántas motos hay de cada tipo. (1.5 puntos)** Primero, definimos las incógnitas que representan las cantidades que queremos encontrar: $x$: número de motos que consumen solo gasolina. $y$: número de motos que usan gasolina y aceite. $z$: número de motos eléctricas. Ahora, traducimos el enunciado a lenguaje algebraico paso a paso: 1. "Disponen de 100 motos": $$x + y + z = 100$$ 2. "La diferencia entre la cantidad de estas (gasolina y aceite) y las de gasolina es igual a la mitad del número de eléctricas": $$y - x = \frac{z}{2}$$ 3. "La diferencia entre las de gasolina y las eléctricas es igual a la tercera parte de las que utilizan gasolina y aceite": $$x - z = \frac{y}{3}$$ 💡 **Tip:** En problemas de sistemas, es fundamental definir claramente qué representa cada variable antes de escribir las ecuaciones.

Para resolver el sistema de forma cómoda, vamos a colocar todas las variables a la izquierda y los términos independientes a la derecha, eliminando los denominadores en las ecuaciones 2 y 3. Multiplicamos la segunda ecuación por 2: $$2(y - x) = z \implies -2x + 2y - z = 0$$ Multiplicamos la tercera ecuación por 3: $$3(x - z) = y \implies 3x - y - 3z = 0$$ El sistema planteado queda de la siguiente forma: $$\begin{cases} x + y + z = 100 \\ -2x + 2y - z = 0 \\ 3x - y - 3z = 0 \end{cases}$$ ✅ **Resultado (Sistema planteado):** $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 100 \\ -2x + 2y - z = 0 \\ 3x - y - 3z = 0 \end{cases}}$$

**b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos)** Utilizaremos el método de Gauss para resolver el sistema. Escribimos la matriz ampliada asociada: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 100 \\ -2 & 2 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & -3 & 0 \end{array}\right)$$ Realizamos operaciones elementales entre filas para hacer ceros en la primera columna: - Para la segunda fila ($F_2$): $F_2 \leftarrow F_2 + 2F_1$ $$(-2 + 2(1), \ 2 + 2(1), \ -1 + 2(1) \ | \ 0 + 2(100)) = (0, 4, 1 \ | \ 200)$$ - Para la tercera fila ($F_3$): $F_3 \leftarrow F_3 - 3F_1$ $$(3 - 3(1), \ -1 - 3(1), \ -3 - 3(1) \ | \ 0 - 3(100)) = (0, -4, -6 \ | \ -300)$$ La matriz queda: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 100 \\ 0 & 4 & 1 & 200 \\ 0 & -4 & -6 & -300 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** El objetivo de Gauss es conseguir una matriz triangular superior para facilitar la sustitución hacia atrás.

Ahora hacemos un cero en la segunda columna usando la fila 2: - Para la tercera fila ($F_3$): $F_3 \leftarrow F_3 + F_2$ $$(0 + 0, \ -4 + 4, \ -6 + 1 \ | \ -300 + 200) = (0, 0, -5 \ | \ -100)$$ La matriz triangular resultante es: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 100 \\ 0 & 4 & 1 & 200 \\ 0 & 0 & -5 & -100 \end{array}\right)$$ De la última fila obtenemos $z$: $$-5z = -100 \implies z = \frac{-100}{-5} = 20$$ Sustituimos $z$ en la segunda ecuación para hallar $y$: $$4y + z = 200 \implies 4y + 20 = 200 \implies 4y = 180 \implies y = 45$$ Sustituimos $y$ y $z$ en la primera ecuación para hallar $x$: $$x + y + z = 100 \implies x + 45 + 20 = 100 \implies x + 65 = 100 \implies x = 35$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{aligned} \text{Gasolina (x): } & 35 \text{ motos} \\ \text{Gasolina y aceite (y): } & 45 \text{ motos} \\ \text{Eléctricas (z): } & 20 \text{ motos} \end{aligned}}$$