Probabilidad de finalización de estudios y Teorema de Bayes

**a) Elegido un estudiante al azar de informática, ¿cuál es la probabilidad de que consiga terminar la titulación? (0.75 puntos)** Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $M$: El estudiante es mujer. - $H$: El estudiante es hombre. - $T$: El estudiante termina la titulación. - $\bar{T}$: El estudiante no termina la titulación. Extraemos los datos del enunciado: - $P(M) = 24.8\% = 0.248$ - $P(H) = 1 - 0.248 = 0.752$ - $P(T|M) = 0.95$ (probabilidad de terminar si es mujer) - $P(T|H) = 0.85$ (probabilidad de terminar si es hombre) Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad:

Para hallar la probabilidad de que un estudiante termine la titulación, $P(T)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Sumamos las probabilidades de las ramas que finalizan en $T$: $$P(T) = P(M) \cdot P(T|M) + P(H) \cdot P(T|H)$$ Sustituimos los valores numéricos: $$P(T) = 0.248 \cdot 0.95 + 0.752 \cdot 0.85$$ $$P(T) = 0.2356 + 0.6392 = 0.8748$$ 💡 **Tip:** El teorema de la probabilidad total se usa cuando un suceso puede ocurrir a través de varios caminos excluyentes (en este caso, ser mujer y terminar o ser hombre y terminar). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(T) = 0.8748}$$

**b) Sabiendo que un estudiante elegido al azar ha terminado informática, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? (0.75 puntos)** En este apartado nos piden una probabilidad condicionada a la inversa: sabemos que ha ocurrido $T$ y queremos saber la probabilidad de que provenga de $M$, es decir, $P(M|T)$. Para ello, aplicamos el **Teorema de Bayes**. La fórmula es: $$P(M|T) = \frac{P(M \cap T)}{P(T)} = \frac{P(M) \cdot P(T|M)}{P(T)}$$ Utilizamos los valores obtenidos anteriormente: - $P(M \cap T) = 0.248 \cdot 0.95 = 0.2356$ - $P(T) = 0.8748$ Calculamos la división: $$P(M|T) = \frac{0.2356}{0.8748} \approx 0.2693$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de una 'causa' dado un 'efecto' ya observado. Es la probabilidad de una rama específica dividida por la probabilidad total del suceso final. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M|T) \approx 0.2693}$$