Intervalo de confianza para la media poblacional

**a) Halla un intervalo de confianza para la media poblacional de la altura de ese tipo de planta, con un nivel de confianza del 95 %. (1 punto)** Primero, extraemos los datos del enunciado: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 15$ - Tamaño de la muestra: $n = 400$ - Media muestral: $\bar{x} = 110$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$ Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del $95\%$: 1. Si $1 - \alpha = 0.95$, entonces $\alpha = 0.05$. 2. Repartimos el error en las dos colas: $\alpha/2 = 0.025$. 3. Buscamos el valor de $z$ tal que la probabilidad acumulada sea $1 - \alpha/2 = 1 - 0.025 = 0.975$. Consultando la tabla proporcionada: Buscamos el valor $0.9750$ en el cuerpo de la tabla. Vemos que corresponde a la fila **1.9** y a la columna **0.06**. $$p(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.9750 \implies z_{\alpha/2} = 1.96$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ define el número de desviaciones típicas que nos alejamos de la media para cubrir el porcentaje de confianza deseado.

Calculamos el error máximo admisible ($E$) utilizando la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 1.96 \cdot \frac{15}{\sqrt{400}} = 1.96 \cdot \frac{15}{20} = 1.96 \cdot 0.75 = 1.47$$ El intervalo de confianza se define como $IC = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$IC = (110 - 1.47, 110 + 1.47)$$ $$IC = (108.53, 111.47)$$ ✅ **Resultado del intervalo:** $$\boxed{IC = (108.53, 111.47)}$$

**b) Explica razonadamente el efecto que tendría sobre el intervalo de confianza el aumento o la disminución del nivel de confianza. (0.5 puntos)** La amplitud del intervalo depende directamente del error $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Analicemos el término $z_{\alpha/2}$: - **Si aumentamos el nivel de confianza** ($1-\alpha$ aumenta): Necesitamos cubrir un área mayor bajo la curva normal. Esto implica que el valor crítico $z_{\alpha/2}$ será más grande. Al ser el error proporcional a $z_{\alpha/2}$, el error aumentará y, por tanto, el **intervalo de confianza será más ancho**. - **Si disminuimos el nivel de confianza** ($1-\alpha$ disminuye): El valor crítico $z_{\alpha/2}$ será más pequeño. Esto reducirá el error, haciendo que el **intervalo de confianza sea más estrecho** (más preciso pero con menos seguridad de contener el parámetro real). 💡 **Tip:** Existe una relación inversa entre precisión (estrechez del intervalo) y confianza. A mayor confianza, menor precisión. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{Aumentar confianza } \rightarrow \text{ Intervalo más ancho.}}$$ $$\boxed{\text{Disminuir confianza } \rightarrow \text{ Intervalo más estrecho.}}$$

**c) ¿Se puede admitir que la media de altura $\mu$ de ese tipo de planta pueda ser de 109 cm con una confianza del 95 %? Razona tu respuesta. (0.5 puntos)** Para determinar si un valor de la media poblacional $\mu$ es admisible con un nivel de confianza determinado, debemos comprobar si dicho valor se encuentra dentro del intervalo de confianza calculado para ese mismo nivel. En el apartado a) hemos calculado que para un nivel de confianza del $95\%$, el intervalo es: $$IC = (108.53, 111.47)$$ Comprobamos si el valor $\mu = 109$ pertenece al intervalo: $$108.53 \le 109 \le 111.47$$ Como el valor **109 está contenido dentro del intervalo**, podemos admitir que la media poblacional sea de 109 cm con ese nivel de confianza. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, se puede admitir porque } 109 \in (108.53, 111.47)}$$