Programación lineal: Maximización de una función objetivo

**a) Dibuja la region factible. (1 punto)** Para representar la región factible, primero transformamos las inecuaciones en rectas para encontrar las fronteras de la región: 1. $r_1: x = y$ (Recta que pasa por el origen $(0,0)$ y por el punto $(3,3)$). 2. $r_2: x + y = 0 \implies y = -x$ (Recta que pasa por el origen $(0,0)$ y por el punto $(3,-3)$). 3. $r_3: x = 3$ (Recta vertical que pasa por $x=3$). Ahora determinamos el semiplano solución para cada restricción: - Para $x \ge y$ (o $y \le x$), la región está por debajo o sobre la recta $y=x$. - Para $x + y \ge 0$ (o $y \ge -x$), la región está por encima o sobre la recta $y=-x$. - Para $x \le 3$, la región está a la izquierda o sobre la recta vertical $x=3$. La intersección de estos tres semiplanos define un recinto triangular. 💡 **Tip:** Para saber qué lado de la recta elegir, toma un punto de prueba que no esté en la recta, como el $(1,0)$, y comprueba si cumple la inecuación.

**b) Determina los vertices de la region factible. (0.25 puntos)** Los vértices se obtienen calculando los puntos de corte de las rectas que forman las fronteras de la región factible: - **Vértice $A$** (Intersección de $r_1$ y $r_2$): $$\begin{cases} y = x \\ y = -x \end{cases} \implies x = -x \implies 2x = 0 \implies x = 0, y = 0 \implies \mathbf{A(0,0)}$$ - **Vértice $B$** (Intersección de $r_1$ y $r_3$): $$\begin{cases} y = x \\ x = 3 \end{cases} \implies y = 3 \implies \mathbf{B(3,3)}$$ - **Vértice $C$** (Intersección de $r_2$ y $r_3$): $$\begin{cases} y = -x \\ x = 3 \end{cases} \implies y = -3 \implies \mathbf{C(3,-3)}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{Vértices: A(0,0), B(3,3), C(3,-3)}$$

**c) Indica el maximo del problema dado y su valor. (0.25 puntos)** Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 12x - 2y$ en cada uno de los vértices hallados para encontrar el valor máximo: - En $A(0,0)$: $$f(0,0) = 12(0) - 2(0) = 0$$ - En $B(3,3)$: $$f(3,3) = 12(3) - 2(3) = 36 - 6 = 30$$ - En $C(3,-3)$: $$f(3,-3) = 12(3) - 2(-3) = 36 + 6 = 42$$ Comparando los valores obtenemos que el valor máximo es $42$ y se alcanza en el punto $(3, -3)$. 💡 **Tip:** En programación lineal sobre un recinto cerrado y acotado (convexo), el óptimo siempre se encuentra en uno de sus vértices o en un segmento de su frontera. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El máximo es } 42 \text{ y se alcanza en el punto } (3, -3)}$$