Continuidad y estudio de una función a trozos

**a) ¿Para qué valor de $t$ la función $f(x)$ es continua en $x = 1$? (0.5 puntos)** Para que la función sea continua en $x = 1$, se deben cumplir tres condiciones: 1. Que exista el valor de la función en el punto: $f(1)$. 2. Que exista el límite de la función cuando $x$ tiende a 1: $\lim_{x \to 1} f(x)$. 3. Que ambos valores coincidan: $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$. Calculamos el valor de la función usando la primera rama ($x \le 1$): $$f(1) = 1 + 3 + t = 4 + t$$ Calculamos los límites laterales en $x = 1$: - Por la izquierda ($x \le 1$): $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x + 3 + t) = 1 + 3 + t = 4 + t$$ - Por la derecha ($x \gt 1$): $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} ((x - 3)^2 + t) = (1 - 3)^2 + t = (-2)^2 + t = 4 + t$$ Para que exista el límite, los límites laterales deben ser iguales: $$4 + t = 4 + t$$ Como los límites laterales son idénticos e iguales a $f(1)$ para cualquier valor de $t$, la función es continua en $x = 1$ para todo $t \in \mathbb{R}$. 💡 **Tip:** Recuerda que la continuidad en un punto de salto entre ramas requiere que el valor al que se acercan ambas funciones sea el mismo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función es continua en } x=1 \text{ para cualquier valor de } t \in \mathbb{R}}$$

**b) Para $t = 0$, calcula los extremos relativos de la función $f(x)$ en el intervalo $(1, +\infty)$. (0.5 puntos)** Primero definimos la función para $t = 0$ en el intervalo solicitado $(1, +\infty)$: $$f(x) = (x - 3)^2$$ Para hallar los extremos relativos, calculamos la primera derivada utilizando la regla de la cadena: $$f'(x) = 2(x - 3) \cdot (x - 3)' = 2(x - 3) \cdot 1 = 2x - 6$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies 2x - 6 = 0 \implies 2x = 6 \implies x = 3$$ Como $x = 3$ pertenece al intervalo $(1, +\infty)$, es un posible extremo relativo. 💡 **Tip:** Un extremo relativo ocurre donde la derivada es cero y existe un cambio en el crecimiento de la función. $$\boxed{f'(x) = 2x - 6}$$

**c) Para $t = 0$, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ en $(1, +\infty)$. (0.5 puntos)** Estudiamos el signo de $f'(x) = 2x - 6$ en el intervalo $(1, +\infty)$ dividiéndolo por el punto crítico $x = 3$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (1, 3) & 3 & (3, +\infty) \\\hline f'(x) & - & 0 & + \\\hline f(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - En el intervalo $(1, 3)$: Probamos con $x = 2 \implies f'(2) = 2(2) - 6 = -2 \lt 0$. La función es **decreciente**. - En el intervalo $(3, +\infty)$: Probamos con $x = 4 \implies f'(4) = 2(4) - 6 = 2 \gt 0$. La función es **creciente**. Como la función pasa de decrecer a crecer en $x = 3$, hay un **mínimo relativo** en ese punto. Calculamos su ordenada: $$f(3) = (3 - 3)^2 = 0$$ 💡 **Tip:** Si $f'(x) \lt 0$ la función decrece, y si $f'(x) \gt 0$ la función crece. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{aligned} & \text{Crecimiento: } (3, +\infty) \\ & \text{Decrecimiento: } (1, 3) \\ & \text{Mínimo relativo: } (3, 0) \end{aligned}}$$