Cálculo de parámetros en una función polinómica

Para hallar los tres parámetros $a, b$ y $c$, necesitamos plantear tres ecuaciones basadas en la información proporcionada: 1. **Punto de la gráfica:** Si el punto $(-1, 6)$ es un punto de inflexión, en particular es un punto que pertenece a la función. Por tanto: $$f(-1) = 6$$ 2. **Punto de inflexión:** En un punto de inflexión, la segunda derivada de la función debe ser igual a cero (y cambiar de signo, aunque para hallar los parámetros nos basta con la igualdad). Por tanto: $$f''(-1) = 0$$ 3. **Pendiente de la recta tangente:** La pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto $x=x_0$ coincide con el valor de la derivada en dicho punto. Si en $x = -2$ la pendiente es $-4$: $$f'(-2) = -4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las condiciones geométricas se traducen así: pertenecer a la curva $\rightarrow f(x)=y$; extremo relativo o pendiente tangente $\rightarrow f'(x)=m$; punto de inflexión $\rightarrow f''(x)=0$.

Calculamos la primera y segunda derivada de la función $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$ para poder aplicar las condiciones anteriores: - Primera derivada (derivamos término a término): $$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$ - Segunda derivada (derivamos la primera derivada): $$f''(x) = 6ax + 2b$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla de la potencia para derivar: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

Sustituimos los valores en las condiciones identificadas en el primer paso: 1. **De $f(-1) = 6$:** $$a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) = 6 \implies -a + b - c = 6$$ 2. **De $f''(-1) = 0$:** $$6a(-1) + 2b = 0 \implies -6a + 2b = 0 \implies 2b = 6a \implies b = 3a$$ 3. **De $f'(-2) = -4$:** $$3a(-2)^2 + 2b(-2) + c = -4 \implies 12a - 4b + c = -4$$ Tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: $$\begin{cases} -a + b - c = 6 \quad \text{(E1)} \\ b = 3a \quad \text{(E2)} \\ 12a - 4b + c = -4 \quad \text{(E3)} \end{cases}$$

Utilizamos el método de sustitución, ya que tenemos $b$ despejado en función de $a$ en la segunda ecuación. Sustituimos **(E2)** en **(E1)** y **(E3)**: - En (E1): $-a + (3a) - c = 6 \implies 2a - c = 6$ - En (E3): $12a - 4(3a) + c = -4 \implies 12a - 12a + c = -4 \implies c = -4$ Ya tenemos el valor de $c$ directamente: $$\mathbf{c = -4}$$ Ahora, usamos este valor en la ecuación simplificada de (E1) para hallar $a$: $$2a - (-4) = 6 \implies 2a + 4 = 6 \implies 2a = 2 \implies \mathbf{a = 1}$$ Finalmente, hallamos $b$ usando la relación **(E2)**: $$b = 3a \implies b = 3(1) \implies \mathbf{b = 3}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 1, \, b = 3, \, c = -4}$$ La función resultante es $f(x) = x^3 + 3x^2 - 4x$.

A continuación se muestra la gráfica de la función hallada, donde se puede observar el punto de inflexión en $(-1, 6)$ y la pendiente de la tangente en $x=-2$.