Probabilidad y Estadística 2021 Castilla la Mancha
Probabilidad en el sector turístico y situaciones de ERE
3. En un municipio el 5 % de las personas esta en un ERE. De las personas que estan en un ERE, el 40 % pertenece al sector turstico. Del resto de las personas del municipio, se sabe que el 10 % de ellos pertenece al sector turstico.
a) Calcula la probabilidad de que elegida una persona al azar del municipio trabaje en el sector turstico. (0.75 puntos)
b) Sabiendo que una persona pertenece al sector turstico, ¿cual es la probabilidad de que este en un ERE? (0.75 puntos)
Paso 1
Definición de sucesos y extracción de datos
**a) Calcula la probabilidad de que elegida una persona al azar del municipio trabaje en el sector turstico. (0.75 puntos)**
En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema basándonos en el enunciado:
- $E$: La persona está en un **ERE**.
- $\bar{E}$: La persona **no** está en un ERE (el resto).
- $T$: La persona pertenece al **sector turístico**.
- $\bar{T}$: La persona **no** pertenece al sector turístico.
Extraemos los datos en términos de probabilidad:
- $P(E) = 0.05$ (el $5\%$ de la población).
- $P(\bar{E}) = 1 - 0.05 = 0.95$ (el resto, $95\%$).
- $P(T|E) = 0.40$: Probabilidad de ser del sector turístico sabiendo que está en ERE.
- $P(T|\bar{E}) = 0.10$: Probabilidad de ser del sector turístico sabiendo que no está en ERE.
Paso 2
Representación mediante diagrama de árbol
Para visualizar mejor las probabilidades condicionadas y los posibles caminos, representamos la situación en un árbol de probabilidad:
💡 **Tip:** Recuerda que en cada nodo las probabilidades de las ramas que salen deben sumar 1.
Paso 3
Cálculo de la probabilidad total
Para calcular la probabilidad de que una persona trabaje en el sector turístico $P(T)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(T) = P(E) \cdot P(T|E) + P(\bar{E}) \cdot P(T|\bar{E})$$
Sustituimos los valores obtenidos anteriormente:
$$P(T) = 0.05 \cdot 0.40 + 0.95 \cdot 0.10$$
$$P(T) = 0.02 + 0.095$$
$$P(T) = 0.115$$
Esto significa que la probabilidad de que una persona elegida al azar pertenezca al sector turístico es del $11.5\%$.
✅ **Resultado (apartado a):**
$$\boxed{P(T) = 0.115}$$
Paso 4
Cálculo de la probabilidad a posteriori (Bayes)
**b) Sabiendo que una persona pertenece al sector turstico, ¿cual es la probabilidad de que este en un ERE? (0.75 puntos)**
Se nos pide una probabilidad condicionada inversa: $P(E|T)$. Para resolverlo, utilizamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(E|T) = \frac{P(E \cap T)}{P(T)} = \frac{P(E) \cdot P(T|E)}{P(T)}$$
Ya conocemos todos los términos necesarios de los pasos anteriores:
- $P(E) \cdot P(T|E) = 0.05 \cdot 0.40 = 0.02$
- $P(T) = 0.115$
Calculamos la división:
$$P(E|T) = \frac{0.02}{0.115} = \frac{20}{115}$$
Simplificando la fracción dividiendo entre 5:
$$P(E|T) = \frac{4}{23} \approx 0.1739$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de una 'causa' (estar en ERE) dado un 'efecto' observado (ser del sector turístico).
✅ **Resultado (apartado b):**
$$\boxed{P(E|T) \approx 0.1739}$$