Probabilidad y Estadística 2021 Castilla la Mancha
Inferencia estadística: Intervalos de confianza y error máximo
4. El tiempo de uso de móvil por día de los alumnos de un instituto sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica $\sigma=20$ minutos. Se eligió una muestra aleatoria de 36 alumnos y se observó que la media de tiempo usando el móvil para esa muestra era de 2 horas.
a) Halla un intervalo de confianza para la media de tiempo de uso de móvil por día con un nivel de confianza del 95 %. (0.75 puntos)
b) ¿Se puede admitir que la media poblacional sea $\mu = 1.3$ horas con un nivel de confianza del 95 %? Explica razonadamente cómo se podría aumentar o disminuir la amplitud del intervalo. Razona tus respuestas. (0.5 puntos)
c) ¿Cuál será el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 100 y un nivel de confianza del 94.64 %? (0.75 puntos)
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline z & 0.00 & 0.01 & 0.02 & 0.03 & 0.04 & 0.05 & 0.06 & 0.07 & 0.08 & 0.09 \\ \hline 1.8 & 0.9641 & 0.9649 & 0.9656 & 0.9664 & 0.9671 & 0.9678 & 0.9686 & 0.9693 & 0.9699 & 0.9706 \\ \hline 1.9 & 0.9713 & 0.9719 & 0.9726 & 0.9732 & 0.9738 & 0.9744 & 0.9750 & 0.9756 & 0.9761 & 0.9767 \\ \hline \end{array}$$
Paso 1
Identificación de los datos del problema
**a) Halla un intervalo de confianza para la media de tiempo de uso de móvil por día con un nivel de confianza del 95 %. (0.75 puntos)**
Primero, definimos la variable aleatoria $X$ como el tiempo de uso del móvil en minutos. Los datos que nos proporciona el enunciado son:
- Desviación típica poblacional: $\sigma = 20$ minutos.
- Tamaño de la muestra: $n = 36$ alumnos.
- Media muestral: $\bar{x} = 2$ horas. Para trabajar con las mismas unidades, la convertimos a minutos: $\bar{x} = 2 \cdot 60 = 120$ minutos.
- Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$.
💡 **Tip:** Es fundamental que todas las variables (media y desviación típica) estén en la misma unidad (en este caso, minutos) antes de realizar cualquier operación.
Paso 2
Cálculo del valor crítico zα/2
Para un nivel de confianza del $95\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$:
1. $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$.
2. $\alpha/2 = 0.025$.
3. Buscamos el valor en la tabla de la normal $N(0,1)$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.9750$.
Consultando la tabla proporcionada en el examen, vemos que para $z = 1.9$ y la columna $0.06$, el valor es exactamente $0.9750$.
Por lo tanto:
$$z_{\alpha/2} = 1.96$$
💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ marca la distancia en desviaciones típicas desde la media para cubrir el área central correspondiente a la confianza deseada.
Paso 3
Determinación del intervalo de confianza
La fórmula del error máximo admisible es:
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
Sustituimos los valores:
$$E = 1.96 \cdot \frac{20}{\sqrt{36}} = 1.96 \cdot \frac{20}{6} = 1.96 \cdot 3.3333 = 6.5333 \text{ minutos}.$$
El intervalo de confianza se define como $IC = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$:
$$IC = (120 - 6.5333, 120 + 6.5333) = (113.4667, 126.5333)$$
✅ **Resultado (Intervalo en minutos):**
$$\boxed{IC = (113.47, 126.53)}$$
Si quisiéramos expresarlo en horas (dividiendo entre 60):
$$\boxed{IC \approx (1.89, 2.11) \text{ horas}}$$
Paso 4
Análisis de la media poblacional y amplitud
**b) ¿Se puede admitir que la media poblacional sea $\mu = 1.3$ horas con un nivel de confianza del 95 %? Explica razonadamente cómo se podría aumentar o disminuir la amplitud del intervalo. Razona tus respuestas. (0.5 puntos)**
Primero, comprobamos si $\mu = 1.3$ horas pertenece al intervalo hallado. Convertimos $1.3$ horas a minutos:
$$1.3 \cdot 60 = 78 \text{ minutos}.$$
Observamos que $78 \notin (113.47, 126.53)$.
**Conclusión:** No se puede admitir que la media sea $1.3$ horas con esa confianza, ya que el valor está fuera del intervalo.
Para modificar la **amplitud** ($A = 2 \cdot E = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$):
- **Aumentar amplitud:** Se puede aumentar el nivel de confianza (lo que aumenta $z_{\alpha/2}$) o disminuir el tamaño de la muestra $n$.
- **Disminuir amplitud:** Se puede disminuir el nivel de confianza (lo que disminuye $z_{\alpha/2}$) o aumentar el tamaño de la muestra $n$.
💡 **Tip:** A mayor tamaño de muestra, más precisión tenemos y el intervalo se estrecha (menor amplitud).
Paso 5
Cálculo del error máximo con nuevos parámetros
**c) ¿Cuál será el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 100 y un nivel de confianza del 94.64 %? (0.75 puntos)**
Nuevos datos:
- $n = 100$.
- $1 - \alpha = 0.9464$.
- $\sigma = 20$.
Calculamos el nuevo valor crítico:
1. $\alpha = 1 - 0.9464 = 0.0536$.
2. $\alpha/2 = 0.0268$.
3. Buscamos $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.0268 = 0.9732$.
Mirando la tabla, el valor $0.9732$ corresponde a $z = 1.9$ y columna $0.03$, es decir:
$$z_{\alpha/2} = 1.93$$
Calculamos el error:
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.93 \cdot \frac{20}{\sqrt{100}} = 1.93 \cdot \frac{20}{10} = 1.93 \cdot 2 = 3.86 \text{ minutos}.$$
✅ **Resultado (Error máximo):**
$$\boxed{E = 3.86 \text{ minutos}}$$