Continuidad de una función a trozos con parámetros y representación gráfica

**a) Halla el valor de $t$ para que $f$ sea continua en $x = 0$. (0.5 puntos)** Para que la función sea continua en el punto de salto $x = 0$, deben cumplirse tres condiciones: 1. Que exista la imagen de la función en el punto: $f(0)$. 2. Que existan los límites laterales y sean iguales (es decir, que exista $\lim_{x \to 0} f(x)$). 3. Que el valor del límite coincida con la imagen: $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$. Analizamos cada una: - **Imagen en el punto:** Según la definición de la función, cuando $x = 0$: $$f(0) = -2$$ - **Límites laterales:** Límite por la izquierda ($x \to 0^-$): usamos la rama $-(x-t)^2$ $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} -(x - t)^2 = -(0 - t)^2 = -(-t)^2 = -t^2$$ Límite por la derecha ($x \to 0^+$): usamos la rama $x^2 - 2$ $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2 - 2) = 0^2 - 2 = -2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función a trozos sea continua, los "extremos" de las ramas deben encontrarse en el mismo valor de $y$.

Para que exista el límite y la función sea continua, los límites laterales deben ser iguales entre sí y además iguales al valor de la imagen $f(0) = -2$: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$$ $$-t^2 = -2$$ Multiplicamos por $-1$ en ambos lados: $$t^2 = 2$$ Para despejar $t$, aplicamos la raíz cuadrada: $$t = \pm\sqrt{2}$$ Existen dos valores de $t$ que hacen que la función sea continua en el punto de salto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = \sqrt{2} \quad \text{y} \quad t = -\sqrt{2}}$$

**b) Para $t = -1$, representa gracamente la funcion $f(x)$. (1 punto)** Sustituimos $t = -1$ en la expresión original para obtener la función concreta a representar: $$f(x) = \begin{cases} -(x - (-1))^2 = -(x + 1)^2 & \text{si } x \lt 0 \\ -2 & \text{si } x = 0 \\ x^2 - 2 & \text{si } x \gt 0 \end{cases}$$ Analizamos cada tramo para su representación: 1. **Tramo $x \lt 0$:** Es una parábola cóncava hacia abajo (forma de $\cap$) con vértice en $V(-1, 0)$. Cuando $x \to 0$, el límite es $-(0+1)^2 = -1$. 2. **Punto aislado:** En $x = 0$, la función vale $y = -2$. 3. **Tramo $x \gt 0$:** Es una parábola cóncava hacia arriba (forma de $\cup$) con vértice en $(0, -2)$. Es el tramo de la función $y = x^2$ desplazado 2 unidades hacia abajo. 💡 **Tip:** Al representar funciones a trozos, fíjate bien en si los extremos de los intervalos están incluidos (punto relleno) o excluidos (punto hueco). En este caso, en $x=0$, las parábolas no llegan a tocarse, dejando un salto finito.

A continuación se muestra la gráfica de la función. Observa el salto que se produce en $x = 0$ al no ser el valor de $t$ uno de los calculados en el apartado anterior. - La curva azul representa $-(x+1)^2$ para $x \lt 0$. - La curva roja representa $x^2 - 2$ para $x \gt 0$. - El punto negro en $(0, -2)$ es el valor exacto de la función en el origen.